对数的性质

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介绍

• 对数只是表达指数的另一种方式，可以用来解决仅靠指数概念无法解决的问题。

• 在数学中，对数函数性质用于解决对数问题。

• 除法将最终数字作为被除数，确定加法的次数。也许现在你可以理解指数和对数与乘法和除法有多么相似。

• 你通常会在指数和对数中处理“底数”。

• 指数的“底数”将与对数的底数相同。

• 你已经学习了许多基本的数学性质，例如可以应用于代数的交换律和分配律。在本教程中，我们将讨论对数的性质。

对数

• 对数定义为需要将一个数提升到某个幂才能得到另一个值的幂。

• 对数只是表达指数的另一种方式，可以用来解决仅靠指数概念无法解决的问题。

• 理解对数并不困难。要理解对数，只需知道对数方程只是另一种写指数方程的方式即可。

• 对数和指数互为逆运算。对数最初由一位名叫约翰·纳皮尔的数学家引入，作为一种简便的计算方法。这一概念很快被其他科学家、工程师和其他人所采用。

• 对数定义为需要将一个数提升到某个幂才能得到另一个值的幂。

• 表示大数最方便的方法。对数具有几个重要的性质，证明对数的乘法和除法也可以用对数的加法和减法来描述。

• $\mathrm{\log_{b}{a}\:=\:y}$，这是关于底数b的a的对数。这里，y是实数，a和b是两个正实数，a在对数内部称为真数，b在对数底部称为底数。

让我们来看一个例子

$\mathrm{2^{x}}$ 等价于取x个2，并将它们相乘。对数告诉你需要将底数相乘多少次才能得到该数。

例如：

$\mathrm{\log_{2}{x}}$ 计算需要将多少个2相乘才能得到x。使用实际数字可能会有所帮助。

$$\mathrm{2^{4}\:=\:16}$$

$$\mathrm{\log_{2}{16}\:=\:4}$$

两者都处理这一系列乘法运算：$\mathrm{2\times\:2\times\:2\times\:2}$

对数规则

对数规则指的是对数运算规则。这些规则是从指数规则推导出来的，因为对数是描述指数的另一种方式。对数公式用于将一组对数压缩成单个对数，并将对数扩展成一组对数。对数公式是对数运算规则。由于对数是描述指数的另一种方式，因此我们使用指数规则来推导出对数定律。主要有五个规则，主要陈述如下：

对数性质

积的性质

$$\mathrm{\log_{a}{xy}\:=\:\log_{a}{x}\:+\:\log_{a}{y}}$$

商的性质

$$\mathrm{\log_{a}{\frac{x}{y}}\:=\:\log_{a}{x}\:-\:\log_{a}{y}}$$

幂的性质

$$\mathrm{\log_{a}{x}^{m}\:=\:m\log_{a}{x}}$$

换底公式

$$\mathrm{\log_{b}{c}\:=\:\frac{\log_{a}{c}}{\log_{a}{b}}}$$

倒数性质

$$\mathrm{\log_{n}{m}\:=\:\frac{1}{\log_{m}{n}}}$$

对数公式对于所有对数（包括自然对数）都是相同的。自然对数是以“e”为底的对数。它用“ln”表示。即$\mathrm{\log_{e}\:=\:ln}$。也就是说，它不写自然对数的底数。如果你看到“ln”，你就可以自动看出它的底数是“e”。

对数的性质

对数是描述指数的另一种方式。对数定义为需要将一个数提升到某个幂才能得到另一个值的幂。表示大数最方便的方法。对数具有几个重要的性质，证明对数的乘法和除法也可以用对数的加法和减法来描述。

对数性质是：

积的性质

假设：

$$\mathrm{x\:=\:a^{n}\:and\:y\:=\:a^{m}}$$

则等效的对数形式为：

$$\mathrm{\log_{a}{x}\:=\:n\:\:and\:\:\log_{a}{y}\:=\:m\:...............(1)}$$

使用指数的第一个规则：

$$\mathrm{xy\:=\:a^{n}\:\times\:a^{m}\:=\:a^{n\:+\:m}}$$

现在语句$\mathrm{xy\:=\:a^{n\:+\:m}}$的对数形式是$\mathrm{\log_{a}{xy}\:=\:m\:+\:n}$

但是根据(1)，$\mathrm{n\:=\:\log_{a}{x}\:and\:m\:=\:\log_{a}{x}}$，因此将这些结果放在一起，我们得到：

$$\mathrm{\log_{a}{xy}\:=\:\log_{a}{x}\:+\:\log_{a}{y}}$$

商的性质

和前面一样，假设：

$$\mathrm{x\:=\:a^{n}\:and\:y\:=\:a^{m}}$$

具有等效的对数形式：

$$\mathrm{\log_{a}{x}\:=\:n\:and\:\log_{a}{y}\:=\:m\:\:.........{2}}$$

考虑$\mathrm{x\:\div\:y}$。

$$\mathrm{\frac{x}{y}\:=\:a^{n}\:\div\:a^{m}}$$

$$\mathrm{=\:a^{n\:-\:m}}$$

使用指数规则。

对数形式$\mathrm{\log_{a}\frac{x}{y}\:=\:n\:-\:m}$

根据(2)可以写成：

$\mathrm{\log_{a}\frac{x}{y}\:=\:\log_{a}x\:-\:\log_{a}y}$

这就是商的性质。

换底公式

$\mathrm{\log_{b}{c}\:=\:\frac{\log_{a}{c}}{\log_{a}{b}}}$

倒数性质

$$\mathrm{\log_{n}{m}\:=\:\frac{1}{\log_{m}{n}}}$$

对数的用途

对数在数学学习的早期就教授，因为它有大量的应用。我将列举一些应用，但请记住，还有许多其他应用取决于你正在解决的问题的上下文。不仅如此，在评估极限、导数甚至积分的过程中，通常也需要对数。

这些只是一些应用，但在应用题中你主要会用到这些。

• 化学中的pH值。pH值可能非常小，因此使用以10为底的对数来创建非常小值的范围。

• 银行的利息。

• 放射性物质的半衰期。

• 推导电容器的电荷。

• 响度的范围，这与pH值遵循相同的逻辑。

例题

例1 − $\mathrm{x\:=\:\log_{2}{8}}$

解 − $\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:8\:=\:2^{x}}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:8\:=\:2\:\times\:2\:\times\:2\:\times\:2}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:8\:=\:2^{3}}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x\:=\:3}$

例2 − $\mathrm{\log_{8}{128}\:+\:\log_{8}{4}}$

解 $\mathrm{\log_{8}{128}\:+\:\log_{8}{4}\:=\:\log_{8}{128\:\times\:4}}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\log_{8}{512}}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:因为\:512\:=\:8^{3}}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\log_{8}{512}\:=\:3}$。

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:所以\:,\:\log_{8}{128}\:\log_{8}{4}\:=\:3}$。

例3 − $\mathrm{\log\:{x}\:=\:2\log{5}\:+\:\log{6}\:-\:\log{3}}$

解 − $\mathrm{log\:x\:=\:\log5^{2}\:+\:\log6\:-\:\log3}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:log\:x\:=\:\log(5^{2}\:\times\:6)\:-\:\log3}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:log\:x\:=\:\log\:(\frac{5^{2}\:\times\:6}{3})\:=\:\log50}$

例4 − 将$\mathrm{\log_{7}{96}}$ 写成两个对数的和。

解 − $\mathrm{\log_{7}{96}\:=\:\log_{7}\:(3\:\times\:32)}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\log_{7}{3}\:+\:\log_{7}{32}}$

例5 − 在$\mathrm{7^{x}\:=\:54}$ 中求x。

解 − $\mathrm{x\:=\:\log_{7}{54}}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x\:=\:\frac{\log{54}}{\log{7}}}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x\:=\:2.0499}$

结论

对数性质用于将多个对数项压缩成单个对数项，或将单个对数项扩展成多个对数项。对数是表示指数的另一种方式。因此，对数性质是从指数性质推导出来的。

积的性质

$$\mathrm{\log_{a}{xy}\:=\:\log_{a}{x}\:+\:\log_{a}{y}}$$

商的性质

$$\mathrm{\log_{a}{\frac{x}{y}}\:=\:\log_{a}{x}\:-\:\log_{a}{y}}$$

幂的性质

$$\mathrm{\log_{a}{x}^{m}\:=\:m\log_{a}{x}}$$

换底公式

$$\mathrm{\log_{b}{c}\:=\:\frac{\log_{a}{c}}{\log_{a}{b}}}$$

倒数性质

$$\mathrm{\log_{n}{m}\:=\:\frac{1}{\log_{m}{n}}}$$

常见问题

1. 1的对数是多少？

任何底数的1的对数都是0。

2. loge中的“e”是什么意思？

符号e称为指数常数，其值约等于2.718。

3. 你所说的对数是什么意思？

对数定义为需要将一个数提升到某个幂才能得到另一个值的幂。

4. log和ln有什么区别？

以10为底的对数通常写成log，以e为底的对数写成ln。

5. 写出对数性质。

• $\mathrm{\log_{a}{xy}\:=\:\log_{a}{x}\:+\:\log_{a}{y}}$

• $\mathrm{\log_{a}{\frac{x}{y}}\:=\:\log_{a}{x}\:-\:\log_{a}{y}}$

• $\mathrm{\log_{a}{x}^{m}\:=\:m\log_{a}{x}}$

• $\mathrm{\log_{b}{c}\:=\:\frac{\log_{a}{c}}{\log_{a}{b}}}$

• $\mathrm{\log_{n}{m}\:=\:\frac{1}{\log_{m}{n}}}$