将有理数化成标准形式

---

介绍

当一个有理数以其标准形式表示时，表示其分母为正整数，且其分子除 1 外没有其他公因数。有理数是可以表示为 $\mathrm{\frac{r}{s}}$ 的数，其中 r 和 s 是整数，且 s 不等于零。因此，如果 $\mathrm{\frac{4}{8}}$ 是一个有理数，则其标准形式将是 $\mathrm{\frac{1}{2}}$，因为我们无法再化简 $\mathrm{\frac{1}{2}}$。当分母和分子之间只有一个公因数时，结果是一个有理数。但是，由于分母始终为正，因此如果分子也带有正号，则有理数可以被认为是标准的。如果满足这些条件，则这些数字可以称为标准形式的有理数。

有理数

有理数的形式为 $\mathrm{\frac{r}{s}}$，其中 r 和 s 是整数，且 s 不等于零。例如 $\mathrm{\frac{4}{8}}$、2、0 都是有理数。

有理数的标准形式

有理数的标准形式是有理数的分数形式的最简形式。

例如

$\mathrm{\frac{2}{3}}$ 是数字 $\mathrm{\frac{8}{12}}$ 的标准形式。

如何检查给定的形式是否为有理数的标准形式？

为了确定给定的有理数是否处于其标准形式，我们必须首先确定分子和分母的 H.C.F.（最大公因数）。如果它是 1，则给定有理数的分子和分母是互质数。如果分子和分母不是互质数，我们首先将其除以它们的公因数。我们继续将分子和分母除以公因数，直到我们得到 HCF 等于 1 的分子和分母。

例如

给定的有理数是 $\mathrm{\frac{6}{9}}$，注意 6 和 9 的 HCF 是 3，而不是 1。因此，我们将分子和分母除以 HCF，得到化简后的形式 $\mathrm{\frac{2}{3}}$，它无法进一步化简。

因此，$\mathrm{\frac{2}{3}}$ 是有理数 $\mathrm{\frac{6}{9}}$ 的标准形式。

转换为标准形式

要将给定的有理数转换为标准形式，我们将遵循以下过程：

检查提供的有理数是否具有正或负分母。如果分母为负，则将分子乘以 -1 或将分母除以 -1 以使其为正。然后，计算分子和分母绝对值的 HCF。将计算出的 HCF 值除以指定有理数的分子和分母。得到的结果是有理数的标准形式。

例如

给定的有理数是 $\mathrm{\frac{-12}{36}}$，注意这里分母是正数，所以我们不需要乘以 -1。现在 12 和 36 的 HCF 是 12，所以我们将分子和分母除以 12，得到给定有理数的标准形式为 $\mathrm{\frac{-1}{3}}$。

有理数的代数

有理数集用 Q 表示。设 $\mathrm{\frac{a}{b}\: \&\: \frac{c}{d}}$ 为两个有理数，使得 b≠0，d≠0。

两个有理数的和定义为 $\mathrm{\frac{a}{b} + \frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}}$。

两个有理数的差定义为 $\mathrm{\frac{a}{b} - \frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}}$。

两个有理数的积定义为 $\mathrm{\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}}$

两个有理数的商定义为 $\mathrm{\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}=\frac{a}{b} \times \frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}}$

例题

1.有理数 24/96 的标准形式是什么？有理数 $\mathrm{\frac{24}{96}?}$ 的标准形式是什么？

解答

给定的有理数是 $\mathrm{\frac{24}{96}}$，注意 24 和 96 的 HCF 是 24，它不是 1。因此，我们将分子和分母除以 HCF 24，得到化简后的形式 $\mathrm{\frac{1}{4}}$，它无法进一步化简。

因此，$\mathrm{\frac{1}{4}}$ 是有理数 $\mathrm{\frac{24}{96}}$ 的标准形式。

2.将以下有理数按降序排列。

$$\mathrm{\frac{35}{25},\frac{25}{35},\frac{25}{75}}$$

解答

注意，给定的三个有理数的标准形式分别是 $\mathrm{\frac{7}{5},\frac{5}{7},\frac{1}{5}}$。

要将这些数字按降序排列，首先我们将它们的分母都变成相同，方法是求它们的最大公倍数。

注意 5 和 7 的最大公倍数是 35，

$$\mathrm{所以\: \frac{7}{5}=\frac{49}{35},\frac{5}{7}=\frac{25}{35},\frac{1}{5}=\frac{7}{35}}$$

$$\mathrm{现在,\: \frac{49}{35}>\frac{25}{35}>\frac{7}{35}.}$$

因此，给定有理数的降序排列是 $\mathrm{\frac{7}{5},\frac{5}{7},\frac{1}{5}}$

3.应该向 $\mathrm{\frac{3}{5}}$ 中添加什么数字才能得到结果 $\mathrm{\frac{1}{5}}$？

解答

设向有理数 $\mathrm{\frac{3}{5}}$ 中添加 x 以得到结果 $\mathrm{\frac{1}{5}}$。

因此，

$$\mathrm{x+\frac{3}{5}=\frac{1}{5}}$$

$$\mathrm{x=\frac{1}{5}-\frac{3}{5}=\frac{1-3}{5}=\frac{-2}{5}}$$

因此，应该向有理数 $\mathrm{\frac{3}{5}}$ 中添加 $\mathrm{\frac{-2}{5}}$ 以得到结果 $\mathrm{\frac{1}{5}}$。

4.应该从 $\mathrm{\frac{2}{7}}$ 中减去什么数字才能得到结果 $\mathrm{\frac{1}{3}}$？

解答

设从有理数 $\mathrm{\frac{2}{7}}$ 中减去 x 以得到结果 $\mathrm{\frac{1}{3}}$。

因此，

$$\mathrm{\frac{2}{7}-x=\frac{1}{3}}$$

因此，应该从有理数 $\mathrm{\frac{2}{7}}$ 中减去 $\mathrm{\frac{-1}{21}}$ 以得到结果 $\mathrm{\frac{1}{3}}$。

5.计算以下算式

• $\mathrm{\frac{6}{7} \times 3}$

• $\mathrm{\frac{8}{9}÷\frac{16}{81}}$

解答

• $\mathrm{\frac{6}{7}×3=\frac{6}{7}\times \frac{3}{1}=\frac{6×3}{7×1}=\frac{18}{7}}$

• $\mathrm{\frac{8}{9}÷\frac{16}{81}=\frac{8}{9 }\times \frac{81}{16}=1×\frac{9}{2}=\frac{9}{2}}$

结论

在本文中，我们学习了有理数及其标准形式。当分母和分子之间的公因数仅为 1，且分母始终为正时，则称有理数处于其标准形式。此外，当分子具有正号时，也满足有理数的标准形式。我们将这些数字称为标准形式的有理数。

常见问题

1.零是什么类型的数字？

是的，数字零可以写成 $\mathrm{\frac{p}{q}=\frac{0}{q}}$ 的形式，其中 q≠0，因此零是有理数。

2.整数是有理数吗？

整数可以写成 $\mathrm{\frac{p}{q}}$ 的形式，其中 q≠0。例如，整数 100 可以写成 $\mathrm{\frac{100}{1}}$，这是有理数的标准形式，因此每个整数都是有理数。

3.写出四个是有理数且等价于给定数字 $\mathrm{\frac{3}{4}}$ 的数字。

要找到与给定标准形式的有理数等价的数字，我们将给定有理数的标准形式的分子和分母乘以一个不等于 1 和 0 的整数。四个与给定数字 $\mathrm{\frac{3}{4}\: 等价的数字是\: \frac{9}{12},\frac{6}{8},\frac{15}{20},\frac{18}{24}}$

4.有理数具有哪些 3 个特征？

满足以下所有三个条件的任何数字都被认为是有理数：它可以写成一个简单的分数 $\mathrm{\frac{p}{q}}$，q≠0。分子和分母都必须是真实的普通整数或互质数，且 q 不能为零。

5.无限大是是有理数吗？

根据实数的定义，即实数是可以是有理数或无理数的数字，位于区间 [-∞,∞] 中。因此，根据此定义，无穷大不是实数，根据定义本身也不是有理数。