有理数运算

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简介

有理数运算，例如加法、减法、乘法和除法等基本运算。有理数是包含分子和分母的分数（分母必须是非零整数）。在代数中，有理数被广泛应用于科学、数学和经济领域。此外，加法、减法、除法和乘法等各种运算对于得到第三个有理数是必要的。所有这些运算都与整数的代数运算有很大不同。在本教程中，我们将讨论数系、有理数、有理数之间的比较以及它们的不同运算，并附有已解决的示例。

数系

数是一个数学术语，它具有一定的值，用于计数或测量物体。数学中包含各种各样的数，例如自然数、整数、有理数和无理数。然而，数系被定义为以计算机能够理解的各种形式表示数字。数系也被称为记数系统。

代数中有四种类型的数系，例如

• 十进制（基数-10） - 在这种系统中，总共有 10 个数字，即 0、1、2、3、4、5、6、7、8 和 9

• 二进制（基数-2） - 它仅使用两个数字，例如 0 和 1，来表示任何数字

• 八进制（基数-8） - 它使用 8 个数字，例如 0、1、2、3、4、5、6 和 7，来表示任何数字。

• 十六进制（基数-16） - 它使用 16 个数字或字母，包括 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 以及 A、B、C、D、E、F。

有理数

在数学中，有理数是一种称为分数的数，包含两个项，例如一个分子和一个分母。

有理数可以表示为“𝑝/q”，其中 p 和 q 分别表示分子和分母，并且两者都是整数。有理数的必要条件是分母必须是非零整数。

在现实生活中，有理数以各种方式使用，如下所示。

• 将比萨饼切成相等的部分

• 评估产品的折扣价格或材料

• 在餐馆分摊账单

• 表达考试中获得的分数

• 计算投资的利息金额

此外，代数中使用了四种类型的有理数。

• 整数 - 例如 -10、0、6 等。

• 分数 - 例如 3/4、9/14 等

• 有限小数 - 例如 0.1、0.2568、0.47 等。

• 无限小数 - 例如 0.333…、0.141414… 等。

将有理数转换为分数

每个有理数都可以表示为 p/q 的形式，也可能不表示为 p/q 的形式。因此，这些有理数可以转换为分数。

• 无限小数 - 使用以下公式可以将无限小数转换为分数

$$\mathrm{0.\overline{pqrs}\:=\:\frac{循环节}{循环节位数个9}}$$

例如，$\mathrm{\overline{0.3}\:=\:\frac{3}{9}\:,\:\overline{0.125}\:=\:\frac{125}{999}}$

• 有限小数 - 在这种情况下，将所有整数写在分子位置，分母将是 10 的幂。10 的指数或幂取决于小数点左侧的整数。

例如，$\mathrm{0.4567\:=\:\frac{4567}{10^{4}}\:=\:\frac{4567}{10000}}$.

比较有理数

可以根据以下说明进行两个有理数之间的比较。

• 如果分母相同，则比较分子。分子值最大的那个是有理数中最大的。

例如，比较 $\mathrm{\frac{2}{15}\:and\:\frac{11}{15}\:由于\:11\:>\:2\:，因此\:\frac{11}{15}\:>\:\frac{2}{15}}$.

• 如果分母不同，则找到两个有理数分母的最小公倍数（LCM）。现在，以使分母等于 LCM 值的方式乘以每个分数的分子和分母。现在，我们可以很容易地比较这些数字，因为两个分数的分母变得相等。

例如，比较 $\mathrm{\frac{2}{5}\:and\:\frac{7}{3}}$ 5 和 3 的 LCM 是 15。现在，$\mathrm{\frac{2\times\:3}{5\times\:3}\:=\:\frac{6}{15}\:and\:\frac{7\:\times\:5}{3\times\:5}\:，在\:\frac{6}{15}\:和\:\frac{35}{15}\:中\:\frac{35}{15}\:大于\:\frac{6}{15}\:。因此\:\frac{7}{3}\:>\:\frac{2}{5}}$

有理数运算

下面解释了四种基本代数运算，例如整数的加法、减法、乘法和除法。

有理数的加法

有理数的加法有两种情况。

• 具有相同或相同分母的有理数 - 在这种情况下，我们将所有分子相加并写下共同的分母。

例如，$\mathrm{\frac{3}{8}\:+\:\frac{7}{8}\:=\:\frac{3\:+\:7}{8}\:=\:\frac{10}{8}}$

• 具有不等或不同分母的有理数 - 找到两个有理数分母的最小公倍数（LCM）。现在，以使分母等于 LCM 值的方式乘以每个分数的分子和分母。现在，将所有分子相加并写下共同的分母。

例如，$\mathrm{\frac{4}{7}\:+\:\frac{9}{2}}$ 。7 和 2 的 LCM 是 14。

因此，$\mathrm{\frac{4}{7}\:+\:\frac{9}{2}\:=\:\frac{4\times\:2}{7\times\:2}\:+\:\frac{9\times\:7}{2\times\:7}\:=\:\frac{8}{14}\:\:+\:\frac{63}{14}\:=\:\frac{8\:+\:63}{14}\:=\:\frac{71}{14}}$

有理数的减法

有理数减法的过程与加法相同。

例如，$\mathrm{\frac{3}{5}\:-\:\frac{19}{5}\:=\:\frac{3\:-\:19}{5}\:=\:\frac{3\:-\:19}{5}\:=\:\frac{-16}{5}}$

有理数的乘法

让我们考虑 $\mathrm{\frac{p}{q}\:and\:\frac{r}{s}}$ 的乘法

• 将一个分数的分子乘以另一个分数的分子。在这种情况下，$\mathrm{p\times\:q}$

• 将一个分数的分母乘以另一个分数的分母。在这种情况下，$\mathrm{q\times\:s}$

• 将分子和分母的乘积结果分别写入相应的位置并简化分数（如果有）。在这种情况下，$\mathrm{\frac{p\times\:r}{q\times\:s}}$

有理数的除法

在有理数的除法中，第二个分数被反转。然后，执行乘法运算。

例如，$\mathrm{\frac{3}{2}\:\div\:\frac{9}{4}\:=\:\frac{3}{2}\:\times\:\frac{4}{9}\:=\:\frac{3\times\:4}{2\times\:9}\:=\:\frac{12}{18}}$

已解决的示例

1)计算 $\mathrm{-\:\frac{9}{10}\:和\:\frac{2}{3}}$ 之间的差。

答案 - 两个有理数的分母都不相同。

因此，10 和 3 的 LCM 是 30。

$$\mathrm{(-\frac{9}{10})\:-\:(\frac{2}{3})\:=\:(-\frac{9\times\:3}{10\times\:3})\:-\:(\frac{2\times\:10}{3\times\:10})}$$

$$\mathrm{=\:(-\frac{27}{30})\:-\:(\frac{20}{30})}$$

$$\mathrm{=\:\frac{-27\:-\:20}{30}\:=\:\frac{-47}{30}}$$

∴ $\mathrm{-\frac{9}{10}\:和\:\frac{2}{3}}$ 之间的差是 $\mathrm{\frac{-47}{30}}$

2)如果吉塔要制作薄煎饼，她会使用 $\mathrm{\frac{4}{7}}$ 的面粉。她将使用多少面粉来烘焙 $\mathrm{\frac{1}{3}}$ 部分的薄煎饼？

答案 - 给定的是，

制作一个薄煎饼消耗的面粉总量 $\mathrm{=\:\frac{4}{7}}$

现在，制作 $\mathrm{\frac{1}{3}}$ 部分薄煎饼所用的面粉量为 $\mathrm{=\:\frac{4}{7}\:\times\:\frac{1}{3}}$

$$\mathrm{=\:\frac{4\times\:1}{7\times\:3}\:=\:\frac{4}{21}}$$

∴ 吉塔必须使用 $\mathrm{\frac{4}{21}}$ 部分的面粉。

3)计算 $\mathrm{\frac{10}{17}\:\div\:\frac{1}{2}}$

答案 - $\mathrm{\frac{10}{17}\:\div\:\frac{1}{2}\:=\:\frac{10}{17}\:\times\:\frac{2}{1}}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\frac{10\times\:2}{17\times\:1}\:=\:\frac{20}{17}}$

结论

本教程简要介绍了有理数的基本概念及其各种运算。本教程描述了数系和有理数的基本定义、有理数的比较以及有理数的运算。此外，还提供了一些已解决的示例，以便更好地理解这一概念。总之，本教程可能有助于理解有理数运算的基本概念。

常见问题解答

1. 什么是加法和乘法单位元？

零和一被称为加法和乘法单位元。这意味着任何有理数与 0 相加的结果都是其本身。同样，任何有理数与 1 相乘的结果都是相同的数字。

2. 有理数可以表示在数轴上吗？

是的，有理数也可以表示在数轴上。

3. 哪些代数运算满足有理数的交换律和结合律？

有理数的加法和乘法满足交换律和结合律。

4. 有理数乘法的性质是什么？

有理数乘法有几个性质，如下所述。

• 如果乘法的顺序颠倒，则结果保持不变。

• 任何有理数与 1 相乘的结果都是相同的有理数。

• 任何有理数与 0 相乘的结果都是 0。

5. 有理数的除法满足逆性质。这个说法正确吗？

不。有理数的除法不满足逆性质。