复数的代数运算

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介绍

复数的代数运算由算术运算给出，包括加法、减法、乘法和除法。复数使得求负数的平方根更加简单。复数的概念最早出现在公元一世纪，当时一位希腊数学家亚历山大城的希罗尝试计算负数的平方根。

许多科学研究，包括涉及信号处理、电磁学、流体物理学、量子力学和振动分析的研究，都使用了复数。在本教程中，我们将讨论复数的代数运算。

复数

复数是由实数和虚数组合而成的。复数的格式为 a + ib，其中 ib 是虚部，a 是实部。

因此，复数是实数和虚数相加的简单表达式。a 是纯实数，b 是纯虚数。

实数 − 所有存在于数系表示法中的数，例如正数、负数、零、整数、有理数、无理数和分数，都是实数。

虚数：不是实数的数是虚数。虚数的平方等于负数，表示为 i=√(-1)。

复数运算

复数的代数运算在数学中由四个基本的算术运算表示：加法、减法、除法和乘法。复数是实数和虚数的乘积。

加法和减法

• 复数加法

  在复数加法中，实部和虚部分别相加。

  如果，Z₁=m+in 和 Z₂=p+iq，则

  $$\mathrm{Z_1+Z_2=(m+p)+i(n+q)}$$

• 两个复数的减法

  在两个复数的减法中，实部和虚部分别相减。

  如果，Z₁=m+in 和 Z₂=p+iq，则

  $$\mathrm{Z_1-Z_2=(m-p)+i(n-q)}$$

乘法

使用分配律来乘以两个或多个复数。如果我们有两个复数，z = a + ib 和 w = c + id，则复数 z 和 w 的乘法表示为 z.w = (a + ib) (c + id)。为了求复数的乘积，我们使用乘法的分配律。

$$\mathrm{z.w = (a + ib) (c + id). }$$

$$\mathrm{z.w = (ac-bd)+i(ad+bc) }$$

除法

要除以复数，我们必须找到一个可以同时乘以分子和分母的项，并消除分母的虚部，从而得到分母为实数的结果。

如果 z = a + ib 和 w = c + id

则 $\mathrm{\frac{z}{w}=\frac{a + ib}{c + id}}$

现在乘以并除以 c - id

$$\mathrm{\frac{z}{w}=\frac{a + ib}{c + id}×\frac{c - id}{c - id}}$$

$$\mathrm{\frac{z}{w}=\frac{(ac+bd)}{c^2+d^2}+i \frac{(bc-ad)}{c^2+d^2}}$$

极坐标形式

复数的极坐标形式以与直角坐标形式不同的方式表示复数。复数是实数和虚数的组合。复数的格式为 a + ib。

但是，复数在极坐标形式中表示为模和幅角的组合。复数的模也称为绝对值。这种极坐标形式使用坐标系的实轴和虚轴（想象的）极坐标来表示。

这里，纵轴表示虚轴（想象的），而横轴表示实轴。计算 r 以确定坐标的实部和虚部。r 是向量的长度，θ 是与实轴形成的角度。

$$\mathrm{z = x + iy.}$$

$$\mathrm{z= r (cosθ + i sinθ)}$$

对于复数，r 表示绝对值或模，角度 θ 称为复数的幅角 $\mathrm{r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}.}$

极坐标形式的运算

请按照以下方法在极坐标形式下加/减复数：

• 将所有复数从极坐标转换为直角坐标表示。

• 对直角坐标形式的复数进行加法或减法运算。

• 在计算结果后，将结果转换回极坐标形式。

例题

1) 简化 (1+i)×(4+3i)

答案：给定方程为 (1+i)×(4+3i)

$$\mathrm{\Rightarrow (4-3)+i(3+4)}$$

$$\mathrm{\Rightarrow 1+7i}$$

2) 简化 (2+i)×(2+2i)

答案：给定方程为 (2+i)×(2+2i)

$$\mathrm{\Rightarrow (4-2)+i(4+2)}$$

$$\mathrm{\Rightarrow 2+6i}$$

3) 简化 (11+2i)-(14+3i)

答案：在两个复数的减法中，实部和虚部分别相减。

$$\mathrm{(11+2i)-(14+3i)}$$

$$\mathrm{\Rightarrow (11-14)+(2i-3i)}$$

$$\mathrm{\Rightarrow -3-i}$$

4) 简化 (8+5i)+(6+9i)

答案：在复数加法中，实部和虚部分别相加。

$$\mathrm{(8+5i)+(6+9i)}$$

$$\mathrm{ \Rightarrow (8+6)+(5i+9i)}$$

$$\mathrm{ \Rightarrow 14+14i}$$

5) 简化： (1+2i)×(2+3i)+(3+2i)

答案：给定方程为 (1+2i)×(2+3i)+(3+2i)

$$\mathrm{\Rightarrow (2-6)+i(4+3)+(3+2i)}$$

$$\mathrm{\Rightarrow (-4+7i)+(3+2i)}$$

$$\mathrm{\Rightarrow -1+9i}$$

6) 求复数 z=11+12i 的模

答案：给定复数为 z=1+2i，我们必须求模，即

$$\mathrm{|z|=\sqrt{(1)^2+(2)^2}}$$

$$\mathrm{|z|=\sqrt{5}}$$

7) 简化复数 $\mathrm{z=\frac{3+4i}{\sqrt{2}+i}}$

答案：给定复数为 $\mathrm{z=\frac{3+4i}{\sqrt{2}+i}}$

现在，在分子和分母中乘以它的共轭复数

$$\mathrm{z=\frac{3+4i}{√2+i}×\frac{√2-i}{√2-i}}$$

$$\mathrm{z=\frac{3√2+4√2 i-3i+4}{2-1}}$$

$$\mathrm{z=(3√2+4)+i(4√2-3)}$$

8) 求复数 z=4+3i 的平方。

答案：给定复数为 z=4+3i。

$$\mathrm{|z|=\sqrt{(4)^2+(3)^2}}$$

$$\mathrm{|z|=\sqrt{25}}$$

$$\mathrm{|z|=5}$$

且 a=4，b=3。

现在使用复数平方根的公式

$$\mathrm{\sqrt{a+ ib}=±(\sqrt{\frac{|z|+a}{2}}±\frac{ib}{|b|} \sqrt{\frac{|z|-a}{2}})}$$

现在代入值

$$\mathrm{\sqrt{a+ ib}=±(\sqrt{\frac{5+4}{2}}±\frac{i3}{|3|} \sqrt{\frac{5-3}{2}})}$$

$$\mathrm{\sqrt{a+ ib}=±(\frac{9}{2}+i)}$$

9) 求解二次方程 x²-x+1=0 的根

答案：我们知道二次方程公式是 $\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

现在将此公式应用于给定方程：

$$\mathrm{x=\frac{1±\sqrt{1^2-4.1.1}}{2.1}}$$

$$\mathrm{x=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}}$$

$$\mathrm{x=\frac{1±i\sqrt{3}}{2}}$$

10) 求解二次方程 x²-3x+3=0 的根

答案：我们知道二次方程公式是 $\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

现在将此公式应用于给定方程：

$$\mathrm{x=\frac{3±\sqrt{(-3)^2-4.1.3}}{2.1}}$$

$$\mathrm{x=\frac{3±\sqrt{9-12}}{2}}$$

$$\mathrm{x=\frac{3±i\sqrt{3}}{2}}$$

结论

复数是由虚数和实数相加而成的。复数通常具有 a + ib 的形式，并用符号 z 表示。

在这种情况下，因为 a 和 b 都是实数，所以使用 Re(z) 来表示值“a”作为实部，使用 Im(z) 来表示值“b”作为虚部，ib 也被称为虚数。

常见问题

1.什么是复数？

复数是由实数和虚数组合而成的。复数的格式为 a + ib，其中 ib 是虚部，a 是实部。

2.在复数中，什么是虚数单位？

虚数单位用 i 表示，其值为 √(-1) 或 i=√(-1)。

3.什么是复数的极坐标形式？

与直角坐标形式不同，复数在极坐标形式中以不同的方式表示。复数通常表示为 z = x + iy。

4.什么是复数的模？

复数 z = a + ib 的模是指该复数在阿甘德平面中到原点的距离。它用符号 | z | 表示，等于 $\mathrm{| z | =\sqrt{(a)^2+(b)^2}}$

5.什么是欧拉公式？

欧拉公式描述了复指数函数和三角函数之间的关系。

$$\mathrm{z=r( cos x + i sin x)}$$

$$\mathrm{z=r e^{ix}}$$