算术平均数、几何平均数和调和平均数之间的关系

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介绍

算术平均数 (AM)、几何平均数 (GM) 和调和平均数 (HM) 之间的关系表示为 $\mathrm{AM\times\:HM\:=\:GM^{2}}$ 。在学习数学中的数列时，我们也会遇到 AM、GM 和 HM 之间的关系。这三个代表相应数列的平均值。算术平均数 (AM)、几何平均数 (GM) 和调和平均数 (HM) 都是平均值的缩写。算术级数、几何级数和调和级数的平均值分别由 AM、GM 和 HM 表示。在学习它们之间的关系之前，应该熟悉这三种平均数及其公式。

什么是算术级数？

算术级数 (AP) 可以用两种方式定义：

• 每一对相邻项之间差值相同的数列称为算术级数。

• 算术级数是一个序列，其中除第一项外，每一项都是通过将前一项加上一个预定的值得到的。

例如，2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23 和 26 的

• a = 2 (第一项)

• d = 3 (项之间的“公差”)

算术数列通常写成如下形式：{ a, a+d, a+2d, a+3d,... } 等。使用上面给出的例子，得到以下等式：$\mathrm{\lbrace\:a\:,\:a\:+\:d\:,\:a\:+\:2d\:,\:a\:+\:3d\:.....\rbrace\:=\:\lbrace\:2\:,\:2\:+\:3\:,\:2\:+\:2\times\:3\:,\:2\:+\:3\times\:3\:......\rbrace\:=\:\lbrace\:2\:,\:5\:,\:8\:,\:11\:......\rbrace}$

什么是算术平均数？

算术平均数也称为平均数或算术平均值。它是通过将特定数据集中的每个数字加起来，然后将结果除以数据集中项目的总数来确定的。对于均匀分布的整数，中间数作为算术平均数 (AM)。

如果算术级数或一组值为 $\mathrm{a_{1}\:,\:a_{2}\:,\:a_{3}\:......\:a_{n}}$

那么

$$\mathrm{AM\:=\:\frac{(a_{1}\:+\:a_{2}\:+\:a_{3}\:........\:+\:a_{n})}{n}}$$

让我们举个例子，给定的 AM 数列是 {4, 6, 8, 10, 12}。为了求算术平均数，我们将求 AM 数列的和，即 {4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 40}，然后将其除以数列中的值的数量，即 {n = 5}。因此，算术平均数是 40/5 = 8

什么是几何级数？

几何级数是一种特殊的级数，其中相邻项的公比始终相同。它也称为 GP。GP 的一般表示形式为 $\mathrm{a\:,ar\:,\:ar^{2}}$，其中 r 是级数的公比，'a' 是第一项。公比可以是负值也可以是正值。

例如：公比为 3 的 GP 为 1, 3, 9, 27, 81 等。

为了找到 GP 的第 $\mathrm{n^{th}}$ 项，我们可以使用以下公式：

$$\mathrm{a_{n}\:=\:ar^{n\:-\:1}}$$

其中

• a 是 GP 的第一项

• r 是公比

• n 是 GP 数列中的值的数量。

什么是几何平均数？

几何平均数 (GM) 是平均值或平均数，它通过对一组数字的值取乘积的根来表示该组的集中趋势。本质上，其中 n 是值的总数，我们将所有 'n' 个值相乘，然后减去这些数字的 $\mathrm{n^{th}}$ 根。

如果几何级数或一组值为 $\mathrm{a^{1}\:,\:a^{2}\:,\:a^{3}\:,\:......\:a^{n}}$

那么

$$\mathrm{GM\:=\:\sqrt[n]{(a^{1}\times\:a^{2}\times\:a^{3}\times\:......\times\:a^{n})}}$$

或者

$$\mathrm{GM\:=\:(a^{1}\times\:a^{2}\times\:a^{3}\times\:......\times\:a^{n})^{1\:/\:n}}$$

例如，GP 数列 {6, 12} 的几何平均数等于 $\mathrm{\sqrt{(6\times\:12)}\:=\:\sqrt{72}\:=\:6\sqrt{2}}$

什么是调和级数？

调和级数是使用算术级数中项的倒数创建的。如果提供的算术级数项为 a, a + d, a + 2d, a + 3d,....，则调和级数的项为 1/a, 1/(a + d), 1/(a + 2d), 1/(a + 3d), 1/(a + 4d) 等。这里，第一项是 a，公差是 d。a 和 d 的值都不为零。

为了找到 HP 的第 $\mathrm{n^{th}}$ 项，我们可以使用以下公式：

$$\mathrm{a_{n}\:=\:\frac{1}{(a\:+\:(n\:-\:1)d)}}$$

其中，

• “a”是 AP 的第一项

• “d”是公差

• “n”是 AP 中的项数

什么是调和平均数？

调和平均数是集中趋势的度量。考虑一下我们希望识别单个值的情况，该值可用于表征围绕中心值的数据行为。然后，此类值称为集中趋势度量。

如果一组观测值由 $\mathrm{h_{1}\:,\:h_{2}\:,\:h_{3}\:......\:h_{n}}$ 给出。该数据集的倒数项为 $\mathrm{1/h_{1}\:,\:1/h_{2}\:,\:1/h_{3}\:......1/h_{n}}$。因此，调和平均数公式如下：

$$\mathrm{HM\:=\:\frac{n}{(\frac{1}{h_{1}}\:+\:\frac{1}{h_{2}}\:+\:.......\:+\:\frac{1}{h_{n}})}}$$

例如，HP 数列 {1/6, 1/8, 1/10} 的调和平均数等于 3/(1/6 + 1/8 + 1/10) = 3/(1/6 + 1/8 + 1/10) = 7.2

这三种平均数之间是什么关系？

可以利用 AM 的结果大于 GM 和 HM 的结果的论点来理解 AM、GM 和 HM 之间的关系。可以使用以下表达式来表示 AM、GM 和 HM 之间的关系。

$$\mathrm{AM\:>\:GM\:>\:HM}$$

AM、GM 和 HM 之间的关系公式为

$$\mathrm{AM\times\:HM\:=\:GM^{2}}$$

现在让我们看看如何推导出这个公式以更好地理解。

假设我们有一个算术级数 a, AM, b

这里，公差是

$$\mathrm{AM\:-\:a\:=\:b\:-\:AM}$$

$$\mathrm{a\:+\:b\:=\:2AM\:..........(i)}$$

现在假设我们有一个几何级数 (GP)

公比为 $\mathrm{GM/a\:=\:b/GM}$

$$\mathrm{ab\:=\:GM^{2}\:.......(ii)}$$

接下来，调和级数 a, HM, b，这些项的倒数将构成一个算术级数，即

$$\mathrm{1/a\:,\:1/HM\:,\:1/b}$$

公差为

$$\mathrm{1/HM\:-\:1/a\:=\:1/b\:-\:1/HM}$$

$$\mathrm{2/HM\:=\:1/a\:+\:1/b}$$

$$\mathrm{2/HM\:=\:(a\:+\:b)/ab\:........(iii)}$$

现在将方程 (i) 和方程 (ii) 代入方程 (iii)。

$$\mathrm{2/HM\:=\:2AM/GM^{2}}$$

$$\mathrm{AM\times\:HM\:=\:GM^{2}}$$

这就是我们得到 AM、GM 和 HM 之间关系的方式。

解题示例

1) 如果调和平均数 (HM) 为 56/9，算术平均数 (AM) 为 9，则确定几何平均数 (GM) 值。

答案：

给定 AM（算术平均数）− 9

给定 HM（调和平均数）− 56/9

我们必须找到几何平均数。

为此，我们可以使用 AM、GM 和 HM 之间的关系公式

$$\mathrm{AM\times\:HM\:=\:GM^{2}}$$

$$\mathrm{9\times\:56/9\:=\:GM^{2}}$$

$$\mathrm{GM^{2}\:=\:56}$$

$$\mathrm{GM\:=\:\sqrt{56}}$$

$$\mathrm{GM\:=\:2\sqrt{14}}$$

因此，$2\sqrt{14}$ 是所需的几何平均数。

结论

• 算术平均数是通过将特定数据集中的每个数字加起来，然后将结果除以数据集中项目的总数来确定的。

$$\mathrm{AM\:=\frac{(a_{1}\:+\:a_{2}\:+\:a_{3}\:.......\:+\:a_{n})}{n}}$$

• 几何级数是一种特殊的级数，其中相邻项的公比始终相同。

• 几何平均数 (GM) 是平均值或平均数，它通过对一组数字的值取乘积的根来表示该组的集中趋势。$\mathrm{GM\:=\:\sqrt[n]{(a^{1}\times\:a^{2}\times\:a^{3}\times\:......\times\:a^{n})}}$

• 调和级数是使用算术级数中项的倒数创建的。

• 调和平均数是集中趋势的度量。$\mathrm{HM\:=\:\frac{n}{(\frac{1}{h_{1}}\:+\:\frac{1}{h_{2}}\:+\:.....\:+\:\frac{1}{h_{n}})}}$

• 算术平均数 (AM)、几何平均数 (GM) 和调和平均数 (HM) 之间关系的公式。

$$\mathrm{AM\times\:HM\:=\:GM^{2}}$$

常见问题

1. AM 和 GM/HM 之间有什么关系？

方程 $\mathrm{AM\times\:HM\:=\:GM^{2}}$ 可以用来表示 AM、GM 和 HM 之间的关系。这里，几何平均数的平方等于算术平均数 (AM) 和调和平均数 (HM) 的乘积。

2. 在等差数列中，如何求 d？

为了确定等差数列中的 d，我们将确定等差数列中任意两个连续项之间的差。

3. 几何级数的公比是多少？

确定任何一项与其前一项的比率即可得到公比。例如，取等比数列 1、3、9。公比 R = 9/3 = 3。

4. 算术平均数在实践中有什么意义？

算术平均数用于衡量集中趋势。通过考虑所有数据，它使我们能够确定频率分布的中心。

5. 调和级数的公式是什么？

求调和级数的第 n 项是调和级数公式的定义。调和级数的第 n 项等于 $\mathrm{1/(a\:+\:(n\:-\:1)d)}$。