使用布尔代数化简布尔表达式

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化简是一种通过使用一些布尔恒等式将布尔表达式最小化或简化为等效表达式的途径。布尔代数是应用于二进制数系统的数学。它是由英国数学家乔治·布尔开发的，用于将复杂的逻辑运算简化为最简单的形式。

布尔函数的化简非常重要，因为它减少了实现逻辑函数所需的逻辑器件/门电路的数量。这反过来又降低了电路的硬件成本和复杂性。此外，它还提高了系统的可靠性。

在本教程中，我们将了解如何将复杂的布尔函数简化或化简或最小化为其最简单的形式。此外，我们还将讨论一些示例，以便更好地理解这个概念。

使用布尔代数化简布尔表达式的步骤

可以通过以下步骤简化或最小化复杂的布尔表达式：

步骤 1 - 乘以所有需要的变量以去除括号“()”。

步骤 2 - 查找表达式中所有相同的项。只保留其中一项，其余项全部删除。例如：

$$\mathrm{ABC+ABC+ABC=ABC}$$

步骤 3 - 在同一项中查找变量及其否定。此项也将被删除。例如：

$$\mathrm{AB\overline{B}C=A.0.C=AC}$$

步骤 4 - 识别那些除了一个变量外其余变量都相同的项对。该变量可能在一项中缺失。在这种情况下，将删除较大的项。

例如：

$$\mathrm{AB\overline{C}+AB=AB(\overline{C}+1)=AB.1=AB}$$

步骤 5 - 识别那些变量相同且一个或多个变量取反的项对。如果一个项对中的一项的某个变量取反，而另一项的该变量未取反，则将这些项组合成一个项，并删除该变量。

例如：

$$\mathrm{AB\overline{C}+ABC=AB(\overline{C}+C)=AB.1=AB}$$

现在，让我们看一些例子来深入理解这个概念。

示例 1

使用布尔代数化简以下布尔表达式。

$$\mathrm{\mathit{f}=A[B+C\lgroup \overline{A\overline{B}+AC\rgroup}}]$$

解答

给定的布尔表达式为：

$$\mathrm{\mathit{f}=A[B+C\lgroup \overline{A\overline{B}+AC\rgroup}}]$$

通过应用德摩根定律 $\mathrm{\lgroup\overline{A+B}=\overline{A}\:\overline{B}\rgroup}$，化简项 $\mathrm{\lgroup\overline{A\overline{B}+AC\rgroup }}$，得到：

$$\mathrm{\mathit{f}=A[B+C\lgroup \overline{A\overline{B}}+\overline{AC\rgroup}}]$$

使用德摩根定理 $\mathrm{\lgroup \overline{AB}=\overline{A}+\overline{C}\rgroup}$，得到：

$$\mathrm{\mathit{f}=A[B+C\lgroup \overline{A}+B\rgroup\lgroup A+\overline{C}\rgroup}]$$

将 $\mathrm{ [\lgroup\overline{A}+B\rgroup\lgroup\overline{A}+\overline{C} \rgroup]}$ 相乘，得到：

$$\mathrm{\mathit{f}=A[B+C\lgroup\overline{A}\:\overline{A}+\overline{A}B+\overline{A}\:\overline{C}+B\overline{C}\rgroup]}$$

化简：

$$\mathrm{\mathit{f}=A\lgroup B+C\overline{A}\:\overline{A}+C\overline{A}B+C\overline{A}\:\overline{C}+CB\overline{C}\rgroup}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}=A\lgroup B+\overline{A}C+\overline{A}BC+0+0\rgroup}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}=A\lgroup B+\overline{A}C+\overline{A}BC\rgroup}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}=A[ B+\overline{A}C\lgroup 1+B\rgroup]}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}=A\lgroup B+\overline{A}C\rgroup}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}=AB+A\overline{A}C}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}=AB+0}$$

$$\mathrm{\therefore \mathit{f}=AB}$$

这是给定布尔函数的简化或最小化形式。

示例 2

使用布尔代数化简以下布尔表达式。

$$\mathrm{\mathit{f}=\lgroup A+B\rgroup[AC+\lgroup B+\overline{C}\rgroup]}$$

解答

给定的布尔表达式为：

$$\mathrm{\mathit{f}=\lgroup A+B\rgroup\overline{[AC+\lgroup B+\overline{C}\rgroup]}}$$

使用德摩根定理 $\mathrm{\lgroup\overline{A+B}=\overline{A}\:\overline{B}\rgroup}$，化简项 $\mathrm{\overline{\lgroup AC+\lgroup B+\overline{C}\rgroup\rgroup}}$，得到：

$$\mathrm{\mathit{f}=\lgroup A+B\rgroup\overline{[AC.\lgroup B+\overline{C}\rgroup]}}$$

使用德摩根定理化简 $\mathrm{\overline{[ AC}.\overline{\lgroup B+\overline{C}\rgroup}]}$，得到：

$$\mathrm{\mathit{f}=\lgroup A+B\rgroup[\lgroup \overline{A}+\overline{C}\rgroup.\lgroup \overline{B}C\rgroup]}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}=\lgroup A+B\rgroup\lgroup \overline{A}\:\overline{B}C+\overline{C}\:\overline{B}C\rgroup}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}=\lgroup A+B\rgroup\lgroup \overline{A}\:\overline{B}C+0\rgroup}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}=\lgroup A+B\rgroup\lgroup \overline{A}\:\overline{B}C\rgroup}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}=\lgroup A\overline{A}\:\overline{B}C+B\overline{A}\:\overline{B}C\rgroup}$$

重新排列，得到：

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}=\lgroup A\overline{A}\:\overline{B}C+\overline{A}\:\overline{B}BC\rgroup}$$

$$\mathrm{\therefore \mathit{f}=0+0=0}$$

因此，在化简给定的布尔函数后，我们得到了 0 作为化简后的表达式。这表明给定的函数无法实现。

示例 3

使用布尔代数化简以下布尔表达式。

$$\mathrm{\mathit{f}=\lgroup A+AB\rgroup\lgroup A+\overline{A}B\rgroup\lgroup A+C\rgroup}$$

解答

给定的布尔表达式为：

$$\mathrm{\mathit{f}=\lgroup A+AB\rgroup\lgroup A+\overline{A}B\rgroup\lgroup A+C\rgroup}$$

将前两项相乘，得到：

$$\mathrm{\mathit{f}=\lgroup AA+A\overline{A}B+ABA+AB\overline{A}B\rgroup\lgroup A+C\rgroup}$$

重新排列：

$$\mathrm{\mathit{f}=\lgroup AA+A\overline{A}B+AAB+A\overline{A}BB\rgroup\lgroup A+C\rgroup}$$

化简：

$$\mathrm{\mathit{f}=\lgroup A+0+AB+0\rgroup\lgroup A+C\rgroup}$$

提取公因子：

$$\mathrm{\mathit{f}= A\lgroup 1+B\rgroup\lgroup A+C\rgroup}$$

化简：

$$\mathrm{\mathit{f}= A.1\lgroup A+C\rgroup=A\lgroup A+C\rgroup}$$

展开：

$$\mathrm{\mathit{f}=\lgroup AA+AC\rgroup}$$

化简：

$$\mathrm{\mathit{f}=\lgroup A+AC\rgroup}$$

化简：

$$\mathrm{\mathit{f}= A\lgroup 1+C\rgroup=A}$$

因此，这是给定布尔表达式的简化或最小化形式。

结论

在本教程中，我们讨论了使用布尔代数化简布尔表达式。我们讨论了逐步化简复杂布尔表达式的步骤。此外，我们还讨论了几个已解决的示例，以彻底理解这个概念。

在逻辑电路实现中，电路复杂性和硬件成本起着重要的作用。电路尺寸也影响着电路的速度。因此，为了尽可能达到理想状态，我们需要使用最少的硬件部件（即逻辑门）来实现逻辑电路。这可以通过将布尔表达式化简或最小化为其简化形式来实现。

已经开发了几种技术来化简复杂的布尔表达式。布尔代数是最基本的技术之一。从以上示例可以清楚地看出，布尔代数提供了一套规则，可以直接应用于将布尔表达式化简或最小化为其简化形式。