泰勒级数

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简介

函数的泰勒级数或泰勒展开式是有限项的和，这些项用函数在单个点的导数表示。无限项的多项式或函数是泰勒级数。每个后续项的指数或次数都将大于其前面项的指数或次数。

$$\mathrm{f(a)\:+\:\frac{f'(a)}{1!}(x\:-\:a)\:+\:\frac{f"(a)}{2!}(x\:-\:a)^{2}\:+\:\frac{f'''(a)}{3!}(x\:-\:a)^{3}\:+\:.......}$$

对于实值函数 f(x)，其中 f'(a)、f"(a)、f"'(a) 等表示函数在点 a 处的导数，提供了上述泰勒级数展开式。如果点“a”的值为零，则泰勒级数也称为麦克劳林级数。

什么是泰勒级数？

假设 f(x) 是一个实数或复合函数，并且它是实数或复合邻域数的可微函数。然后，泰勒级数描述了以下幂级数：

$\mathrm{f(x)\:=\:f(a)\:+\:\frac{f'(as)}{1!}(x\:-\:a)\:+\:\frac{f"(a)}{2!}(x\:-\:a)^{2}\:+\:\frac{f'''(a)}{3!}(x\:-\:a)^{3}\:+\:.......}$

这里，

• f(x) = 实数或复数值函数，在实数或复数“a”处无限可微，是幂级数

• n = 级数中项的总数

泰勒级数可以用西格玛符号表示为

$$\mathrm{f(x)\:=\:\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty\:\frac{f^{n}(a)}{n!}\:(x\:-\:a)^{n}}$$

其中

$\mathrm{f^{n}(a)\:=\:n^{th}}$

n! = n 的阶乘。

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如何找到泰勒级数？

如果我们想找到函数 f(x) 的泰勒级数，可以按照以下步骤找到泰勒级数。

步骤 1 − 确定 f(x) 的前几个导数。

公式显示了 f(a)。这是 x = a 时 f(x) 的值。接下来，我们观察 f' (a)。这是为 x = a 计算的 f(x) 的一阶导数。像这样，我们将根据需要计算 f "(x)、f "(x) 等。

步骤 2 − 计算函数在 x = a 时的导数

在前面步骤的每个结果中用 a 代替 x。我们使用初始导数获得 f(a) − $\mathrm{f'(a)\:,\:f''(a)\:,\:f'''(a).........}$

步骤 3 − 完成泰勒级数表达式的右侧。

由此，我们现在将构建泰勒级数 −

$$\mathrm{f(x)\:=\:f(a)\:+\:\frac{f'(as)}{1!}(x\:-\:a)\:+\:\frac{f"(a)}{2!}(x\:-\:a)^{2}\:+\:\frac{f'''(a)}{3!}(x\:-\:a)^{3}\:+\:.......}$$

步骤 4 − 使用求和符号写出结果。因此，您将获得最终的泰勒级数。

查找一些常用函数的泰勒级数

让我们找到一些常用函数的泰勒级数。

• $\mathrm{\sin\:x}$

x=0 的泰勒级数

$\mathrm{f(x)\:=\:\tan\:x}$

步骤 1 − 确定 f(x) 的前几个导数。

$\mathrm{f'(x)\:=\:\sec^{2}\:x}$

$\mathrm{f''(x)\:=\:2\sec^{2}(x)\:\tan(x)}$

$\mathrm{f'''(x)\:=\:-4\sec^{4}\:+\:6\sec^{4}(x)}$

$\mathrm{f''''(x)\:=\:-8\sec^{2}(x)\tan(x)\:+\:24\sec^{2}\tan(x)}$

步骤 2 − 计算函数在 $\mathrm{x\:=\:a\:=\:0}$ 时的导数

$\mathrm{f(0)\:=\:\tan\:0\:=\:0}$

$\mathrm{f'(0)\:=\:\sec^{2}\:0\:=\:1}$

$\mathrm{f(x)\:=\:f(0)\:=\:\frac{f'(0)}{1!}}$

$\mathrm{f'''(x)\:=\:-\cos\:0\:=\:-1}$

$\mathrm{f''''(x)\:=\:\sin\:0\:=\:0}$

步骤 3 − 完成泰勒级数表达式的右侧。

$\mathrm{f(x)\:=\:f(0)\:+\:\frac{f'(0)}{1!}(x\:-\:0)\:+\:\frac{f"(0)}{2!}(x\:-\:0)^{2}\:+\:\frac{f'''(0)}{3!}(x\:-\:0)^{3}\:+\:\:\frac{f'''(0)}{4!}(x\:-\:0)^{4}......}$

$\mathrm{f(x)\:=\:\frac{1}{1!}(x)\:-\:-\:\frac{1}{3!}(x)^{3}\:+\:\frac{1}{5!}(x)^{5}\:-\:\frac{1}{7!}(x)^{7}\:+\:......}$

$\mathrm{\sin\:x\:=\:\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n\:+\:1)!}(x)^{2n\:+\:1}\:=\:\frac{1}{1!}(x)\:-\:\frac{1}{3!}(x)^{3}\:+\:\frac{1}{5!}(x)^{5}\:-\:\frac{1}{7!}(x)^{7}}$

• $\mathrm{\tan\:x}$

x=0 的泰勒级数

$\mathrm{f(x)\:=\:\tan\:x}$

步骤 1 − 确定 f(x) 的前几个导数。

$\mathrm{f'(x)\:=\:\sec^{2}\:x}$

$\mathrm{f''(x)\:=\:2\sec^{2}(x)\:\tan\:(x)}$

$\mathrm{f''(x)\:=\:-4\sec^{2}(x)\:+\:6\sec^{4}(x)}$

$\mathrm{f''''(x)\:=\:-8\sec^{2}(x)\tan(x)\:+\:24\sec^{4}(x)\:\tan(x)}$

步骤 2：计算函数在 x = a = 0 时的导数。

$\mathrm{f'(0)\:=\:\tan\:0\:=\:0}$

$\mathrm{f'(0)\:=\:\sec^{0}\:=\:1}$

$\mathrm{f''(0)\:=\:2\sec^{2}(0)\:\tan(0)\:=\:0}$

$\mathrm{f'''(0)\:=\:-4\sec^{2}(0)\tan(0)\:+\:6\sec^{4}(0)\:=\:2}$

$\mathrm{f''''(0)\:=\:-8\sec^{2}\:\tan(0)\:+\:24\sec^{4}\:\tan(0)\:=\:0}$

步骤 3 − 完成泰勒级数表达式的右侧

$\mathrm{f(x)\:=\:f(0)\:+\:\frac{f'(0)}{1!}(x\:-\:0)\:+\:\frac{f"(0)}{2!}(x\:-\:0)^{2}\:+\:\frac{f'''(0)}{3!}(x\:-\:0)^{3}\:+\:\:\frac{f'''(0)}{4!}(x\:-\:0)^{4}......}$

$$\mathrm{f(x)\:=\:\frac{1}{1!}(x)\:+\:\frac{2}{2\times\:3}(x)^{3}\:+\:\frac{2\times\:8}{2\times\:3\times\:4\times\:5}(x)^{5}}$$

$$\mathrm{f(x)\:=\\frac{1}{1}(x)\:+\:\frac{1}{3}(x)^{3}\:+\:\frac{2}{15}(x)^{5}\:+\:......}$$

$$\mathrm{\tan\:x\:=\:\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{n}(a)}{n!}(x)^{n}\:=\:\frac{1}{1}(x)\:+\:\frac{1}{3}(x)^{3}\:+\:\frac{2}{15}(x)^{5}\:+\:.....}$$

• $\mathrm{e^{\bigwedge}x}$

x=0 的泰勒级数

$\mathrm{f(x)\:=\:e^{x}}$

步骤 1 − 确定 f(x) 的前几个导数。

$\mathrm{}$

步骤 2 − 计算函数在 x = 0 时的导数。

$\mathrm{f(0)\:=\:f'(0)\:=\:f'(0)\:=\:f''(0)\:=\:f'''(0)\:=\:f''''(0)\:=\:e^{0}\:=\:1}$

步骤 3 − 完成泰勒级数表达式的右侧。

$\mathrm{f(x)\:=\:f(0)\:+\:\frac{f'(0)}{1!}(x\:-\:0)\:+\:\frac{f''(0)}{2!}(x\:-\:0)^{2}\:+\:\frac{f'''(0)}{3!}(x\:-\:0)^{3}\:+\:\frac{f''''(0)}{4!}(x\:-\:0)^{4}\:+\:.....}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:f(x)\:=\:1\:+\:\frac{1}{1!}(x)\:+\:\frac{1}{2!}(x)^{2}\:+\:\frac{1}{3!}(x)^{3}\:+\:\frac{1}{4!}(x)^{4}\:+\:.....}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:e^{x}\:=\:\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}(x)^{n}\:=\:1\:+\:\frac{1}{1!}(x)\:+\:\frac{1}{2!}(x)^{2}\:+\:\frac{1}{3!}(x)^{3}\:+\:\frac{1}{4!}(x)^{4}\:+\:.....}$

泰勒级数的性质

性质 1

奇函数的泰勒级数中仅包含 x 的奇次幂，偶函数的泰勒级数中仅包含 x 的偶次幂。

性质 2

通过代入现有的级数，可以创建一个新的级数。

性质 3

• 可以通过加、减、乘或除多个现有的级数来组合成一个新的级数。

• 在除法方面，我们必须使用长除法或综合除法。只要没有除以零，结果就是准确的。

性质 4

可以通过逐项对函数的泰勒级数进行微分或积分来对函数进行积分或微分。

已解决示例

1) 查找 $$ 的泰勒级数

答案 − 我们必须计算 cos x 的导数并在 x = 0 处进行评估。

$\mathrm{f(x)\:=\:\cos\:x\:\Longrightarrow\:f(0)\:=\:1}$

$\mathrm{f'(x)\:=\:-\sin\:x\:\Longrightarrow\:f'(0)\:=\:0}$

$\mathrm{f''(x)\:=\:-\sin\:x\:\Longrightarrow\:f''(0)\:=\:-1}$

$\mathrm{f'''(x)\:=\:-\cos\:x\:\Longrightarrow\:f'''()}\:=\:0$

$\mathrm{f''''(x)\:=\:cos\:x\:\Longrightarrow\:f''''(0)\:=\:1}$

$\mathrm{f{(5)}(x)\:=\:-\:\sin\:x\:\Longrightarrow\:f^{(5)}(0)\:=\:0}$

$\mathrm{f^{(6)}(x)\:=\:-\:\cos\:x\:\Longrightarrow\:f^{(6)}(0)\:=\:-1}$

完成泰勒级数表达式的右侧。

$\mathrm{f(x)\:=\:f(0)\:+\:\frac{f'(0)}{1!}(x\:-\:0)\:+\:\frac{f''(0)}{2!}(x\:-\:0)^{2}\:+\:\frac{f'''(0)}{3!}(x\:-\:0)^{3}\:+\:\frac{f''''(0)}{4!}(x\:-\:0)^{4}\:+\:.....}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:=\:1\:+\:\frac{0}{1!}(x\:-\:0)\:+\:\frac{1}{2!}(x\:-\:0)^{2}\:+\:\frac{0}{3!}(x\:-\:0)^{3}\:+\:\frac{1}{4!}(x\:-\:0)^{4}\:+\:.....}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:=\:1\:-\:\frac{1}{2!}(x)^{2}\:+\:\frac{1}{4!}(x)^{4}\:+\:......}$

$$\mathrm{\cos\:x\:=\:\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{n}(a)}{n!}(x)^{n}\:=\:1\:-\:\frac{1}{2!}(x)^{2}\:+\:\frac{1}{4!}(x)^{4}\:-\:......}$$

$$\mathrm{\cos\:x\:=\:\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}(x)^{2n}}$$

结论

• 无限项的多项式或函数是泰勒级数。每个后续项的指数或次数都将大于其前面项的指数或次数。

• 然后，泰勒级数描述了以下幂级数：

$$\mathrm{f(x)\:=\:f(a)\:+\:\frac{f'(a)}{1!}(x\:-\:a)\:+\:\frac{f"(a)}{2!}(x\:-\:a)^{2}\:+\:\frac{f'''(a)}{3!}(x\:-\:a)^{3}\:+\:.......}$$

• 泰勒级数可以用西格玛符号表示为

$$\mathrm{f(x)\:=\:\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{n}(a)}{n!}\:(x\:-\:a)^{n}}$$

• 如果我们想找到函数 f(x) 的泰勒级数，可以按照以下步骤找到泰勒级数。

  • 确定 f(x) 的前几个导数

  • 计算函数在 x = a 时的导数。

  • 完成泰勒级数表达式的右侧。

  • 使用求和符号写出结果。因此，您将获得最终的泰勒级数。

常见问题

1. 什么是泰勒级数？

无限项的多项式或函数是泰勒级数。每个后续项的指数或次数都将大于其前面项的指数或次数。

2. 泰勒级数公式是什么？

$\mathrm{f(x)\:=\:f(a)\:+\:\frac{f'(a)}{1!}(x\:-\:a)\:+\:\frac{f"(a)}{2!}(x\:-\:a)^{2}\:+\:\frac{f'''(a)}{3!}(x\:-\:a)^{3}\:+\:.......}$

或

$$\mathrm{f(x)\:=\:\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{n}(a)}{n!}\:(x\:-\:a)^{n}}$$

3. 泰勒级数和麦克劳林级数的公式是否等价？

泰勒级数将函数表示为无限项的和，这些项是从函数在单个点的导数值计算出来的。另一方面，麦克劳林级数提供了函数在零处的泰勒级数展开式。

4. 谁创建了泰勒级数公式？

英国数学家布鲁克·泰勒在 1715 年首次明确地发展了泰勒级数，此前苏格兰数学家詹姆斯·格雷戈里首先提出了这个想法。

5. 我们能否将多个级数合并成一个级数？

可以通过加、减、乘或除多个现有的级数来组合成一个新的级数。