什么是双励系统？

双励系统是一种磁系统，其中使用两个独立的线圈产生磁场。双励系统的例子包括同步电机、他励直流电机、扬声器、转速表等。

考虑如图所示的双励系统，它由一个定子线圈（电阻为 R₁）和一个转子线圈（电阻为 R₂）组成。这两个线圈由独立的电压源激励。

为了分析双励系统，做出以下假设：

• 对于任何转子位置，磁链 (ψ) 与电流之间的关系都是线性的。

• 忽略磁滞和涡流损耗。

• 线圈的漏磁通可忽略不计。

• 忽略电场，磁场占主导地位。

两个绕组的磁链表达式如下：

$$\mathrm{ψ_{1} = L_{1}i_{1}+ Mi_{2}}$$

$$\mathrm{ψ_{2} = L_{2}i_{2}+ Mi_{1}}$$

应用 KVL，两个线圈的瞬时电压方程为：

$$\mathrm{V_{1}=i_{1}R_{1}+\frac{d ψ_{1}}{dt}}$$

$$\mathrm{V_{2}=i_{2}R_{2}+\frac{d ψ_{2}}{dt}}$$

将 $ψ_{1}$ 和 $ψ_{2}$ 的值代入相应的电压方程，得到：

$$\mathrm{v_{1}=i_{1}R_{1}+\frac{d}{dt}(L_{1}i_{1}+Mi_{2})=i_{1}R_{1}+\frac{d}{dt}(L_{1}i_{1})+\frac{d}{dt}(Mi_{2})\:\:\:\:\:\:...(1)}$$

$$\mathrm{v_{2}=i_{2}R_{2}+\frac{d}{dt}(L_{2}i_{2}+Mi_{1})=i_{1}R_{1}+\frac{d}{dt}(L_{1}i_{1})+\frac{d}{dt}(Mi_{1})\:\:\:\:\:\:...(2)}$$

由于电感取决于转子角度 $θ_{m}$ 的位置，而 $θ_{m}$ 是时间的函数，且与电流无关。类似地，电流是时间的函数，与电感无关。因此，方程 (1) 和 (2) 可以写成：

$$\mathrm{v_{1}=i_{1}R_{1}+L_{1}\frac{d i_{1}}{dt}+i_{1}\frac{dL_{1}}{dt}+M\frac{d i_{2}}{dt}+i_{2}\frac{d M}{dt}\:\:\:\:\:\:...(3)}$$

$$\mathrm{v_{2}=i_{2}R_{2}+L_{2}\frac{d i_{2}}{dt}+i_{2}\frac{dL_{2}}{dt}+M\frac{d i_{2}}{dt}+i_{1}\frac{d M}{dt}\:\:\:\:\:\:...(4)}$$

现在，将方程 (3) 乘以 $i_{1}$，方程 (4) 乘以 $i_{2}$，得到：

$$\mathrm{v_{1}i_{1}=i_{1}^{2}R_{1}+L_{1}i_{1}\frac{d i_{1}}{dt}+i_{1}^{2}\frac{dL_{1}}{dt}+Mi_{1}\frac{d i_{2}}{dt}+i_{1}i_{2}\frac{d M}{dt}\:\:\:\:\:\:...(5)}$$

$$\mathrm{v_{2}i_{2}=i_{2}^{2}R_{1}+L_{2}i_{2}\frac{d i_{2}}{dt}+i_{2}^{2}\frac{dL_{1}}{dt}+Mi_{2}\frac{d i_{2}}{dt}+i_{1}i_{2}\frac{d M}{dt}\:\:\:\:\:\:...(6)}$$

方程 (5) 和 (6) 是两个线圈的功率表达式。

现在，对方程 (5) 和 (6) 关于时间积分并相加，得到：

$$\mathrm{\int(v_{1}i_{1}+v_{2}i_{2})dt=\int(i_{1}^2R_{1}+i_{1}^2R_{1})dt+\int(l_{1}i_{1}di_{1}+l_{2}i_{2}di_{2}+i_{1}^2dL_{1}+i_{2}^2dL_{2}+Mi_{1}di_{2}+Mi_{2}di_{1}+2i_{1}i_{2}dM)\:\:\:\:\:\:...(7)}$$

方程 (7) 是双励磁系统的能量方程。它表明，输入到系统的总电能等于两部分之和，其中第一部分是电能损耗的能量，第二部分是有用电能，即：

$$\mathrm{[总电能输入\: W_{e}] = [电能损耗能量\: W_{electric.losses}]+[有用电能\: W_{f}+W_{m}]}$$

其中，

$$\mathrm{W_{f}+W_{m}=\int(l_{1}i_{1}di_{1}+l_{2}i_{2}di_{2}+i_{1}^2dL_{1}+i_{2}^2dL_{2}+Mi_{1}di_{2}+Mi_{2}di_{1}+2i_{1}i_{2}dM)\:\:\:\:\:\:...(8)}$$

储存在磁场中的能量

储存在磁场中的能量的瞬时值取决于电感和该时刻电流的值。对于转子的任何静止位置，机械输出为零，所有有用的电能输入都转换为场能。由于电感值是恒定的，因此 $dL_{1}$、$dL_{2}$ 和 dM 项变为零。因此，从方程 (8) 中，我们得到：

$$\mathrm{\int dW_{f}=\int_{0}^{i_{1}}L_{1}i_{1}di_{1}+\int_{0}^{i_{2}}L_{2}i_{2}di_{2}+\int_{0}^{i_{1},i_{2}}(Mi_{2}di_{1}+Mi_{1}di_{2})}$$

$$\mathrm{w_{f}=\frac{1}{2}L_{1}i_{1}^2+\frac{1}{2}L_{2}i_{2}^2+Mi_{1}i_{2}\:\:\:\:\:\:...(9)}$$

电磁转矩

当转子旋转时，场能随时间的变化率由对方程 (9) 求导得到：

$$\mathrm{\frac{d w_{f}}{dt}=\frac{1}{2}L_{1}\frac{d i_{1}^{2}}{dt}+\frac{1}{2}i_{1}^2\frac{dL_{1}}{dt}+\frac{1}{2}L_{2}\frac{d i_{2}^{2}}{dt}+\frac{1}{2}i_{2}^2\frac{dL_{2}}{dt}+i_{1}i_{2}\frac{dM}{dt}+Mi_{1}\frac{di_{2}}{dt}+Mi_{2}\frac{di_{1}}{dt}}$$

$$\mathrm{\Longrightarrow\frac{d w_{f}}{dt}=L_{1}i_{1}\frac{di_{1}}{dt}\frac{1}{2}i_{1}^2\frac{dL_{1}}{dt}+L_{2}i_{2}\frac{di_{2}}{dt}+\frac{1}{2}i_{1}^2\frac{dL_{1}}{dt}+\frac{1}{2}L_{2}\frac{di_{2}^{2}}{dt}+\frac{1}{2}i_{2}^2\frac{dL_{2}}{dt}+i_{1}i_{2}\frac{dM}{dt}+Mi_{1}\frac{di_{2}}{dt}+Mi_{2}\frac{di_{1}}{dt}\:\:\:\:\:\:...(10)}$$

对方程 (10) 关于时间积分，得到：

$$\mathrm{W_{f}=\int L_{1}i_{1}d_{1}+\frac{1}{2}i_{1}^2dL_{1} \int L_{2}i_{2}d_{2}+\frac{1}{2}i_{2}^2dL_{2}+i_{1}i_{2}dM+Mi_{1}di_{2}+Mi_{2}di_{1}\:\:\:\:\:\:...(11)}$$

方程 (11) 是一个运动换能器的通用方程，其中 $L_{1}$、$L_{2}$、$M, i_{1}$ 和 $i_{2}$ 都随位置和时间变化。现在，将方程 (11) 与方程 (8) 进行比较，得到：

$$\mathrm{W_{m}=\int(\frac{1}{2}i_{1}^2dL_{1}+\frac{1}{2}i_{2}^2dL_{2}+i_{1}i_{2}dM+)\:\:\:\:\:\:...(12)}$$

对方程 (12) 关于转子角度 $θ_{m}$ 求导，得到：

$$\mathrm{\frac{dW_{m}}{dθ_{m}}=\int(\frac{1}{2}i_{1}^2\frac{dL_{1}}{dθ_{m}}+\frac{1}{2}i_{2}^2\frac{dL_{2}}{dθ_{m}}+i_{1}i_{2}\frac{dM}{dθ_{m}})}$$

$$\mathrm{\Longrightarrow \tau_{e}=\frac{1}{2}i_{1}^2\frac{dL_{1}}{dθ_{m}}+\frac{1}{2}i_{2}^2\frac{dL_{2}}{dθ_{m}}+i_{1}i_{2}\frac{dM}{dθ_{m}}\:\:\:\:\:\:...(13)}$$

方程 (13) 的前两项是磁阻转矩，最后一项称为同轴转矩，这是由于两个叠加的磁场试图对齐而产生的。

重要 - 对于具有均匀气隙的电机，不会产生磁阻转矩。

数值示例

对于双励系统，电感如下所示：

$$\mathrm{L_{1}=10+2cos2θ;L_{2}=5+2cos2θ;M=20cosθ}$$

线圈由电流 $i_{1}$=0.5A 和 $i_{2}$=0.6A 激励。

• 求转矩作为 θ 的函数。

• 求储存在系统中的能量作为 θ 的函数。

解决方案

• 双励系统产生的转矩由下式给出：

$$\mathrm{\tau_{e}=\frac{1}{2}i_{1}^2\frac{dL_{1}}{dθ_{m}}+\frac{1}{2}i_{2}^2\frac{dL_{2}}{dθ_{m}}+i_{1}i_{2}\frac{dM}{dθ_{m}}}$$

这里，

$$\mathrm{\frac{dL_{1}}{dθ_{m}}=-4sin2θ;\frac{dL_{2}}{dθ_{m}}=-6sin2θ;=-20sinθ}$$

$$\mathrm{\Longrightarrow\tau_{e}=\frac{1}{2}\times(0.5)^2\times(-4sin2θ)+\frac{1}{2}\times(0.6)^2\times(-6sin2θ)+(0.5)\times(0.6)\times-20sinθ}$$

$$\mathrm{\therefore\tau_=-1.58sin2θ-6sinθNm}$$

• 储存在双励系统中的能量由下式给出：

$$\mathrm{W_{f}=\frac{1}{2}L_{1}i_{1}^2+\frac{1}{2}L_{2}i_{2}^2+Mi_{1}i_{2}}$$

$$\mathrm{\Longrightarrow W_{f}=\frac{1}{2}(10+2cos2θ)(0.5)^2+\frac{1}{2}(5+2cos3θ)(0.6)^2+(20cosθ)(0.5)(0.6)}$$

$$\mathrm{\Longrightarrow W_{f}=2.15+0.79cos2θ+6cosθ}$$

Manish Kumar Saini

更新于： 2022 年 9 月 20 日

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