200根木头堆叠如下：底层有20根木头，下一层有19根，再下一层有18根，依此类推（见图）。这200根木头堆了多少层？最上面一层有多少根木头？

已知

200根木头堆叠如下：底层有20根木头，下一层有19根，再下一层有18根，依此类推。

要求

我们需要找出这200根木头堆了多少层，以及最上面一层有多少根木头。

解题步骤

设层数为 $n$

设最上面一层的木头数为 $a$

已知：

$a_{n}=20, d=1$ 且 $S_{n}=200$

我们知道：

$a_{n}=a+(n-1) d$

$20=a+(n-1) 1$

$a=20-n+1$

$a=21-n$

$400=n[a+20]$

$n a+20 n=400$

$n(21-n)+20 n=400$

$21 n-n^{2}+20 n=400$

$n^{2}-41 n+400=0$

$n^{2}-25 n-16 n+400=0$

$n(n-25)-16(n-25)=0$

$(n-16)(n-25)=0$

$n-16=0$ 或 $n-25=0$

$n=16$ 或 $n=25$

如果 $n=16$，则：

$a+(n-1) d=20$

$a+(16-1) d=20$

$a+15 d=20$

$a+15(1)=20$

$a=20-15=5$

如果 $n=25$，则：

$a+(25-1) d=20$

$a+24(1)=20$

$a=20-24=-4$，这不可能。

因此，层数为16，最上面一层有5根木头。

教程点

更新时间： 2022年10月10日

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