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法律研究三相感应电机转子频率、电动势、电流和功率因数
转子电流频率
三相感应电机的定子电流和电压频率必须与电源频率相同，由下式给出：
$$\mathrm{𝑓 =\frac{𝑁_{𝑆}𝑃}{120}… (1)}$$
但是，三相感应电机转子电路中电流和电动势的频率是可变的，取决于同步速度(NS)和转子速度(Nr)之间的差，即取决于滑差。因此，转子频率由下式给出：
$$\mathrm{𝑓_{𝑟} =\frac{(𝑁_{𝑆} − 𝑁_{𝑟} )𝑃}{120}… (2)}$$
现在，根据公式 (1) 和 (2)，我们得到：
$$\mathrm{\frac{𝑓_{𝑟}}{𝑓}=\frac{𝑁_{𝑆} − 𝑁_{𝑟}}{𝑁_{𝑆}}}$$
$$\mathrm{∵ 滑差，𝑠 =\frac{𝑁_{𝑆} − 𝑁_{𝑟}}{𝑁_{𝑆}}}$$
$$\mathrm{∴ 𝑓_{𝑟} = 𝑠𝑓 … (3)}$$
即，转子电流频率 = 每单位滑差 × 电源频率 当转子静止时，即 Nr = 0，则：
$$\mathrm{𝑠 =\frac{𝑁_{𝑆} − 𝑁_{𝑟}}{𝑁_{𝑆}}= 1}$$
$$\mathrm{∴ 𝑓_{𝑟} = 𝑓}$$
因此，当转子静止时，转子电流的频率 (fr) 与电源频率 (f) 相同。
当转子加速时，旋转磁场与转子之间的相对速度减小。结果，滑差 (s) 以及转子电流频率减小。
在同步速度下，即Nr = NS，
$$\mathrm{𝑠 =\frac{𝑁_{𝑆} − 𝑁_{𝑟}}{𝑁_{𝑆}}= 0}$$
$$\mathrm{∴ 𝑓_{𝑟} = 0}$$
转子电动势
当转子静止时，三相感应电机表现为次级绕组短路的变压器。因此，转子（或次级）中每相感应电动势由下式给出：
$$\mathrm{转子每相电动势，𝐸_{2} = 𝐸_{1} × \frac{𝑁_{2}}{𝑁_{1}}= 𝐾\:𝐸_{1} … (3)}$$
其中：
- E1 = 定子每相电压。
- N1 = 定子每相绕组匝数。
- N2 = 转子每相绕组匝数。
当转子以滑差 's' 运行时，定子旋转磁场与转子之间的相对速度为(NS – Nr)。因此，转子电动势与(NS – Nr) 或滑差 (s) 成正比，即：
$$\mathrm{滑差为𝑠时转子每相电动势，{𝐸^{′}_{2}} = 𝑠\:𝐾\:𝐸_{1} … (4)}$$
转子电流和功率因数
考虑下图所示的任何滑差值 's' 的三相感应电机。
此处，假设转子为绕线转子并采用星形连接。因此：
$$\mathrm{转子每相电动势，𝐸^{′}_{2} = 𝑠\:𝐸_{2 }\:\:\:(设𝐾 = 1)}$$
$$\mathrm{转子每相电抗，{𝑋^{′}_{2}} = 𝑠\:𝑋_{2}}$$
其中，X2 是转子每相电抗的静止状态值。
转子电路的电阻为每相 R2，与频率无关，因此不依赖于滑差。类似地，定子绕组的电阻 (R1) 和电抗 (X1) 不依赖于滑差。
由于三相感应电机表示平衡的三相负载，因此只需要分析一相，其他两相的情况相似。
情况 1 – 转子静止时
当转子静止时，电机处于静止状态（滑差，s = 1）
$$\mathrm{转子每相电流，𝐼_{2} =\frac{𝐸_{2}}{𝑍_{2}}=\frac{𝐸_{2}}{\sqrt{{𝑅_{2}}^{2} + {𝑋_{2}}^{2}}}… (5)}$$
$$\mathrm{转子功率因数，cos \:φ_{2}=\frac{R_{2}}{𝑍_{2}}=\frac{R_{2}}{\sqrt{{𝑅_{2}}^{2} + {𝑋_{2}}^{2}}}… (6)}$$
情况 2 – 电机以滑差 's' 运行时
$$\mathrm{转子每相电流，{𝐼^{′}_{2}}=\frac{𝑠\:𝐸_{2}}{𝑍^{′}_{2}}=\frac{𝑠\:𝐸_{2}}{\sqrt{{R_{2}}^{2} +(SX_{2})^{2}}}}…… (7)$$
$$\mathrm{转子功率因数，cos\:{φ^{′}_{2}} =\frac{R_{2}}{𝑍^{′}_{2}}=\frac{R_{2}}{\sqrt{{𝑅_{2} }^{2}+(SX_{2})^{2}}}}… (8)$$
数值例题 1
一台三相 50 Hz 感应电机有 8 个磁极，在某负载下以 4% 的滑差运行。确定转子电流的频率。
解答
$$\mathrm{转子电流频率，𝑓_{𝑟} = 𝑠\:𝑓 = 0.04 × 50 = 2\:Hz}$$
数值例题 2
一台三相四极感应电机连接到 50 Hz 电源。当转子静止时，转子导条中感应的电压为 5 V。计算 500 RPM 时转子导条中感应的电压和频率。
解答
$$\mathrm{同步速度，𝑁_{𝑆} =\frac{120\:𝑓}{𝑃}=\frac{120 × 50}{4}= 1500\:RPM}$$
$$\mathrm{滑差，𝑠 =\frac{𝑁_{𝑆} − 𝑁_{𝑟}}{𝑁_{𝑆}}=\frac{1500 − 500}{1500}= 0.67}$$
因此，对应于滑差 's'，
$$\mathrm{转子感应电压，𝑉^{′}_{2} = 𝑠\:𝑉_{2} = 0.67 × 5 = 3.35\:V}$$
$$\mathrm{转子频率，𝑓_{𝑟} = 𝑠\:𝑓 = 0.67 × 50 = 33.5\:Hz}$$
数值例题 3
一台 8 极、三相、50 Hz 感应电机在满载下以 5% 的滑差运行。转子采用星形连接，其每相电阻和静止电抗分别为 0.35 Ω 和 2 Ω。滑环之间的电动势为 150 V。确定每相转子电流和转子功率因数。假设滑环短路。
解答
静止状态下每相转子电动势为：
$$\mathrm{𝐸_{2} =\frac{150}{\sqrt{3}}= 86.61\:V}$$
$$\mathrm{满载时转子每相电动势，𝐸^{′}_{2} = 𝑠\:𝐸_{2} = 0.05 × 86.61 = 4.33\:V}$$
$$\mathrm{满载时转子每相电抗， 𝑋^{′}_{2} = 𝑠\:𝑋_{2} = 0.05 × 2 = 0.1\:Ω}$$
$$\mathrm{满载时转子每相阻抗， 𝑍^{′}_{2}=\sqrt{{0.35}^{2} + {0.1}^{2}}= 0.364\:Ω}$$
因此：
$$\mathrm{转子每相电流 =\frac{𝐸^{′}_{2}}{𝑍^{′}_{2}}=\frac{4.33}{0.364}= 11.895\:A}$$
$$\mathrm{转子功率因数 =\frac{𝑅_{2}}{𝑍^{′}_{2}}=\frac{0.35}{0.364}= 0.96\:(滞后)}$$
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