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法律研究三相异步电动机的启动转矩；三相异步电动机的转矩方程
三相异步电动机转子产生的转矩 (τ) 与以下因素成正比：
- 转子电流 (I2)
- 转子电动势 (E2)
- 转子电路功率因数 (cos ϕ2)
因此，
$$\mathrm{\tau \propto 𝐸_2𝐼_2 cos \varphi_2}$$
$$\mathrm{⇒ \tau = 𝐾𝐸_2𝐼_2 cos \varphi_2 … (1)}$$
其中，K 为比例常数。
三相异步电动机的启动转矩
设：
- 每相转子电阻 = 𝑅2
- 静止时每相转子电抗 = 𝑋2
- 静止时每相转子电动势 = E2
∴ 静止时每相转子阻抗为：
$$\mathrm{𝑍_2 = \sqrt{𝑅_2^2 + 𝑋2^2}}$$
静止时每相转子电流为：
$$\mathrm{𝐼_2 =\frac{𝐸_2}{𝑍_2}=\frac{𝐸_2}{\sqrt{𝑅_2^2 + 𝑋2^2}}}$$
以及，静止时转子功率因数为：
$$\mathrm{cos\varphi_2 =\frac{𝑅_2}{𝑍_2}=\frac{𝑅_2}{\sqrt{𝑅_2^2 + 𝑋2^2}}}$$
∴ 启动转矩为：
$$\mathrm{\tau_𝑠 = 𝐾𝐸_2𝐼_2 cos\varphi_2 = 𝐾𝐸_2 × (\frac{𝐸_2}{\sqrt{𝑅_2^2 + 𝑋2^2}}) × (\frac{𝑅_2}{\sqrt{𝑅_2^2 + 𝑋2^2}})}$$
$$\mathrm{⇒ \tau_𝑠 =\frac{𝐾 𝐸_2^2 𝑅_2}{(𝑅_2^2 + 𝑋_2^2)}… (2)}$$
通常，定子电源电压 V 保持恒定，因此定子产生的每极磁通也保持恒定。因此，转子中的电动势 E2 将保持恒定。
$$\mathrm{\tau_𝑠 =\frac{𝐾_1 𝑅_2}{(𝑅_2^2 + 𝑋2^2)}… (3)}$$
其中，K1 = K E22 为另一个常数。
三相异步电动机最大启动转矩的条件
由于启动转矩由下式给出：
$$\mathrm{\tau_𝑠 =\frac{𝐾_1 𝑅_2}{(𝑅_2^2 + 𝑋2^2)}=\frac{𝐾_1}{(𝑅_2 +\frac{𝑋_2^2}{𝑅_2})}… (4)}$$
为了使启动转矩最大，式 (4) 的分母应最小，即：
$$\mathrm{\frac{𝑑}{𝑑𝑡}(𝑅_2 +\frac{𝑋_2^2}{𝑅_2}) = 0}$$
$$\mathrm{⇒ 1 −\frac{𝑋_2^2}{𝑅_2^2} = 0}$$
$$\mathrm{⇒ 𝑅_2 = 𝑋2 … (5)}$$
因此，当以下条件满足时，启动转矩最大：
$$\mathrm{每相转子电阻 = 静止时每相转子电抗}$$
在最大启动转矩条件下，转子功率因数角 ϕ2 = 45°，转子功率因数为 0.707 滞后。
电源电压变化对三相异步电动机启动转矩的影响
$$\mathrm{\because \tau_𝑠 =\frac{𝐾 𝐸_2^2 𝑅_2}{(𝑅_2^2 + 𝑋_2^2)}}$$
$$\mathrm{\because 𝐸2 \propto 供电电压 (𝑉)}$$
$$\mathrm{\therefore \tau_𝑠 =\frac{𝐾 𝑉^2 𝑅_2}{(𝑅_2^2 + 𝑋_2^2)}}$$
$$\mathrm{⇒ \tau_𝑠 \propto 𝑉^2 … (6)}$$
因此，启动转矩与电源电压的平方成正比。因此，启动转矩对电源电压的变化非常敏感。
重要事项：
- 鼠笼式电动机的启动转矩——对于鼠笼式电动机，启动转矩非常低，约为额定负载值的 1.5 至 2 倍。
- 绕线转子电动机的启动转矩——对于滑环式异步电动机，可以通过插入外部电阻来增加转子电路的电阻。通过添加适当值的外部电阻（即 R2 = X2），可以获得最大的启动转矩。
数值示例
一台 100 kW、3 kV、50 Hz、8 极、星形连接的异步电动机具有星形连接的滑环转子，其变比为 2.5（定子/转子）。转子电阻为 0.2 Ω/相，其每相漏感为 4 mH。定子阻抗可以忽略不计。求短路滑环在额定电压下的启动转矩。
解答
变比：
$$\mathrm{𝐾 =\frac{每相转子绕组匝数}{每相定子绕组匝数} =\frac{1}{2.5}= 0.4}$$
$$\mathrm{折算到定子的每相转子电阻, 𝑅′_2 =\frac{𝑅_2}{𝐾_2} =\frac{0.2}{0.4^2}= 1.25 \Omega}$$
转子电路的电抗为：
$$\mathrm{𝑋_2 = 2𝜋𝑓𝐿 = 2𝜋 × 50 × (4 × 10^{−3}) = 1.256 \Omega;}$$
折算到定子的每相转子电抗：
$$\mathrm{𝑋′_2 =\frac{𝑋_2}{𝐾^2} =\frac{1.256}{0.4^2} = 7.85 \Omega}$$
现在，每相电源电压为：
$$\mathrm{𝐸_1 =\frac{3000}{\sqrt{3}}= 1732 V}$$
因此，电动机的启动转矩为：
$$\mathrm{\tau_𝑠 =\frac{𝐾 𝐸_2^2 𝑅_2}{(𝑅_2^2 + 𝑋_2^2)}=\frac{3}{2𝜋𝑁_𝑠}×\frac{𝐸_1^2𝑅'_2}{(𝑅′_2)^2 + (𝑋′2)^2}}$$
其中，
$$\mathrm{𝑁_𝑠 =\frac{120𝑓}{𝑃}=\frac{120 × 50}{8}= 750 RPM = 12.5 rps}$$
以及，
$$\mathrm{𝐾 =\frac{3}{2𝜋𝑁_𝑠}; and 𝐸2 \propto 𝐸1}$$
$$\mathrm{\therefore \tau_𝑠 =\frac{3}{2𝜋𝑁_𝑠}×\frac{𝐸_1^2𝑅'_2}{(𝑅′_2)^2 + (𝑋′2)^2}}$$
$$\mathrm{= (\frac{3}{2𝜋 × 12.5}) × (\frac{(1732)^2 × 1.25}{1.252 + 7.85^2})}$$
$$\mathrm{= 2267 Nm}$$
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