心理学中Z分数的应用

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为了标准化意义、建立共同基准并进行比较，原始分数通常会被转换为标准分数。这种转换可以是线性的或非线性的。分数的量表零点和测量单位都受线性转换的影响。这些转换改变了原始分数的平均值和标准差，但转换后分数之间的差异与相应原始分数之间的差异在相对大小上密切对应。因此，原始分数分布的原始形状、偏度和峰度在转换后的分数分布中保持不变。

什么是Z分数？

最简单的标准分数是线性转换的z分数、标准差或相对偏差。它以标准差为单位测量原始分数与平均值的偏差。z分数表示给定原始分数与平均值的偏差是标准差的多少倍。无论原始分数的原始单位如何，z分数都以标准差单位或σ单位表示。分布的平均值（µ）的z分数为零。将原始数据标准化为z分数的优点包括以下几点

• Z分数的计算

• 原始分数可以使用以下公式进行线性转换

Z分数的计算

原始分数可以使用以下公式进行线性转换

$\mathrm{X_s = \overline{X}_s +(X − \overline{X})\frac{s_s}{s}}$

其中，

$\mathrm{X_s}$ = 转换后的分数

$\mathrm{\overline{X}_s}$ = 转换后分数的平均值

$\mathrm{s_s}$ = 转换后分数的标准差

$\mathrm{\overline{X}}$ = 原始分数的平均值

s = 原始分数的标准差

在上述公式中，将0作为$\mathrm{\overline{x}}$，将1作为$\mathrm{s_s}$，则转换后的分数$\mathrm{X_s}$即为z分数。因此，

$\mathrm{z = \frac{X − \overline{X}}{s}}$

或者，

$\mathrm{z = \frac{X − \mu}{\sigma}}$

其中，$\mathrm{x}$ = 计算z分数的值，也称为原始分数

$\mathrm{\mu}$ = 总体平均值

$\mathrm{\sigma}$ = 总体标准差

通过线性转换获得的样本z分数的频率分布与原始原始分数相同，只是单位更改为σ单位，并且量表的零点已修改。z分数分布的平均值为零，与$\mu$的z分数相同，而分布的标准差为1。因此，z分数非常适合比较相同或不同单位的分数，或者比较平均值和标准差差异很大的分数。

与原始分数类似，样本平均值也可以使用平均值的标准误差（SE）$\mathrm{s_\overline{x}}$类似地转换为z分数。

$\mathrm{z = \frac{\overline{X}-\mu}{\sigma_\overline{x}}}$

或者，

$\mathrm{z = \frac{\overline{X}-\mu}{s_\overline{x}}}$

这样计算得到的z分数表示样本平均值与总体平均值的偏差，以标准误差为单位。$\mu$的z分数，

$\mathrm{z=\frac{(\mu-\mu)}{\sigma_\overline{x}}}$，等于$0$，样本平均值的z分数围绕其形成一个抽样分布，其形状与相应样本平均值的抽样分布的形状相同——需要回忆的是，z分数是线性转换的原始分数，因此具有与这些原始分数相同的抽样分布形式。

z分数也计算为标准分数，以表示两个总体（样本从中抽取）的参数平均值之间的差异（X1 − X2）的偏差。其中$\mathrm{s_{\overline{x}_{1} − \overline{x}_{2}}}$是样本平均值之间这种差异的估计标准误差，

$\mathrm{z = \frac{(\overline{X}_{1} − \overline{X}_{2}) − (\mu_1 − \mu_v)}{s_{\overline{x}_{1} − \overline{x}_{2}}}}$

当两个样本都来自同一总体时，

$\mathrm{\mu_1 − \mu_2 = 0}$

因此，

$\mathrm{z = \frac{\overline{X}_1 − \overline{X}_2}{s_{\overline{x}_1 − \overline{x}_2}}}$

Z分数的解释

它包括

z分数以标准差单位测量

例如，z分数为1.2表示观察值比平均值高1.2个标准差。z分数越接近零，该值就越接近平均值。该值越远离平均值，z分数就越远离零。

z分数可以是正数或负数

分布平均值的z分数为零，对于高于平均值的任何分数为正，对于低于平均值的任何分数为负。因此，比平均值高1.65倍标准差的原始分数的z分数为+1.65 $\sigma$；比平均值低1.96倍标准差的原始分数的z分数为−1.96 $\sigma$。

z分数可以快速与其他指标进行比较

z分数可用于比较相似但不同的测量值。身高和体重、家庭收入和债务水平、男性和女性的静息心率以及其他参数都可以使用z分数进行比较。需要记住的关键一点是，正在比较的变量的底层分布应该是可比的。

结论

两个样本平均值之间差异的z分数应用于检验实验中观察到的这种差异的显著性。但是，由于z分数的单位为一个σ，它相对较大，因此计算出的z分数通常具有小数的值。