玻尔兹曼方程的应用

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介绍

玻尔兹曼方程描述了流体与温度的反应。当流体运动时，热能和动量的物理量变化由玻尔兹曼方程计算。该方程也称为玻尔兹曼输运方程（BTE）。流体的热导率、粘度和电导率也可以通过玻尔兹曼方程获得。1872年，路德维希·玻尔兹曼推导出一个方程，将热力学的统计反应归类为不平衡状态。在现代物理学中，统计力学是物理学中最重要的章节之一。麦克斯韦-玻尔兹曼统计是现代统计力学的一部分。

什么是玻尔兹曼方程？

玻尔兹曼方程描述了流体与温度的反应。该方程也称为玻尔兹曼输运方程 (BTE)。该方程是一个非线性积分微分方程。

$$\mathrm{\frac{N_b}{N_a}=\left(\frac{g_b}{g_a}\right)e^{− \frac{(E_b-E_a)}{kT}}}$$

这里

N_b 和 _a = 原子数

k=玻尔兹曼常数

T=气体温度

陈述：玻尔兹曼定律

玻尔兹曼定律也称为斯特藩-玻尔兹曼定律。它指出，完美黑体每秒每单位面积辐射的总热能与其绝对温度的四次方成正比。

$$\mathrm{E\:\alpha\:T^4}$$

$$\mathrm{E=\sigma T^4}$$

这里，

E=热能

T=绝对温度

这里 $\mathrm{\sigma}$ 是斯特藩常数

$$\mathrm{\sigma=5.67×10^{−8} Wm^{−2} K^{−4}}$$

斯特藩的结果由玻尔兹曼给出理论证明。

路德维希·玻尔兹曼

路德维希·玻尔兹曼是一位出生于1844年的奥地利物理学家。他给出了热力学第二定律的统计描述，统计力学的发展是他一生中最大的成就。熵的当前定义由玻尔兹曼给出。

$$\mathrm{S=k_B ln\Omega}$$

这里，

$\mathrm{\Omega}$ 是微观状态的数量，等于系统的能量。

$\mathrm{k_B}$ 称为玻尔兹曼常数。

1863年，他在维也纳大学学习。他学习数学和物理学。1866年，他完成了博士学位。约瑟夫·斯特藩是玻尔兹曼的导师。斯特藩是物理研究所的所长。玻尔兹曼与斯特藩密切合作。1890年，巴伐利亚慕尼黑大学任命玻尔兹曼为理论物理学系主任。他于62岁去世（1906年9月5日）。

什么是玻尔兹曼常数？

马克斯·普朗克引入了玻尔兹曼常数。它是连接气体动能和气体温度的常数值。玻尔兹曼常数是蒸汽或气体常数与阿伏伽德罗常数之比。两者都是常数值。

$$\mathrm{k=\frac{R}{N_A}}$$

这里，

k=玻尔兹曼常数

R=气体常数

$\mathrm{N_A}$-阿伏伽德罗常数

通常将玻尔兹曼常数表示为 $\mathrm{k_B}$。

玻尔兹曼常数的单位是焦耳每开尔文或 $\mathrm{m^2 kgs^{−2} K^{−1}}$。

$\mathrm{k_B=1.3806452×10^{−23} J/K.}$ 的值。

$$\mathrm{k_B=1.3806452×10^{−23} m^2 kgs^{−2} K^{−1} }$$

玻尔兹曼常数在经典物理学的统计力学中体现了原子的能量。玻尔兹曼因子由玻尔兹曼常数表示。在熵的当前定义中，玻尔兹曼常数起着至关重要的作用。在半导体物理学中，热电压由玻尔兹曼常数表示。

斯特藩-玻尔兹曼辐射定律

玻尔兹曼定律也称为斯特藩-玻尔兹曼定律。它指出，完美黑体每秒每单位面积辐射的总热能与其绝对温度的四次方成正比。

$$\mathrm{E\:\alpha\:T^4}$$

$$\mathrm{E=\sigma T^4}$$

为了推导出这个公式，我们可以使用普朗克辐射公式，

$$\mathrm{\frac{dP}{dA}\frac{1}{A}=\frac{2\pi hc^2}{\lambda^5(\frac{hc}{e^{\lambda kT}}-1)}}$$

对两边关于 λ 进行积分，积分限为，

$$\mathrm{\int_{0}^{\infty}\frac{d(\frac{P}{A})}{d\lambda}=\int_{0}^{\infty} \begin{bmatrix}\frac{2\pi hc^2}{\lambda^5(\frac{hc}{e^{\lambda kT}}-1)}\end{bmatrix}d\lambda}$$

$$\mathrm{\frac{P}{A}=2\pi hc^2\int_{0}^{\infty}\begin{bmatrix}\frac{d\lambda}{\lambda^5(\frac{hc}{e^{\lambda kT}}-1)}\end{bmatrix}---------(1)}$$

设 $\mathrm{\frac{hc}{\lambda kT}=x}$

$$\mathrm{\therefore\:\:\:\:h=\frac{x\lambda kT}{c}}$$

$$\mathrm{c=\frac{x\lambda kT}{h}}$$

对 x 值关于 λ 求导

$$\mathrm{dx=-\frac{hc}{\lambda^2 kT}d\lambda}$$

$$\mathrm{\therefore\:\:\:\:-\frac{\lambda^2 kT}{hc}dx}$$

将 h、c、dλ 和 x 的值代入方程 (1)。

$$\mathrm{\frac{P}{A}=2\pi (\frac{x\lambda kT}{c})(\frac{x\lambda kT}{h})^2\int_{0}^{\infty}\frac{-\frac{λ^2 kT}{hc}dx}{e^x-1}}$$

$$\mathrm{\frac{P}{A}=2\pi (\frac{x^3 \lambda^5 k^4 T^4}{h^3 c^2 \lambda^5})\int_{0}^{\infty}\begin{bmatrix}\frac{dx}{e^x-1}\end{bmatrix}}$$

$$\mathrm{\frac{P}{A}=\frac{2\pi(kT)^4}{h^3 c^2}\int_{0}^{\infty}\begin{bmatrix}\frac{x^3}{e^x-1}\end{bmatrix}dx----------(2)}$$

根据积分公式

$$\mathrm{\int_{0}^{\infty}\begin{bmatrix}\frac{x^3}{e^x-1}\end{bmatrix}dx=\frac{\pi^4}{15}}$$

将此公式代入方程 (2)

$$\mathrm{\frac{P}{A}=\frac{2\pi(kT)^4}{h^3 c^2}\frac{\pi^4}{15}}$$

$$\mathrm{\frac{P}{A}=\left(\frac{2k^4 \pi^5}{15h^3 c^2}\right)T^4}$$

这里 $\mathrm{\left(\frac{2k^4 \pi^5}{15h^3 c^2}\right)=\sigma}$

$$\mathrm{\therefore\:\:\:\:\frac{P}{A}=\sigma T^4}$$

(或)

$$\mathrm{\varepsilon=\sigma T^4\:\:\:\:\:(\varepsilon=\frac{P}{A})}$$

$\mathrm{\varepsilon=\sigma T^4}$ 是斯特藩-玻尔兹曼公式。

玻尔兹曼方程的应用

• 利用玻尔兹曼方程可以推导出质量、电荷、动量和能量守恒定律。

• 它用于将经典力学重新表述为哈密顿力学。不同的数学方法有助于重新表述这一点。

• 相对论量子系统，其中碰撞中的粒子数不受保护，因此有可能定义量子玻尔兹曼方程。

• 为了找到星系动力学，使用玻尔兹曼常数。

玻尔兹曼方程示例

示例：在热力学平衡中，氢原子 (H) 气体在第一和第二状态下具有相同数量的原子。计算气体的温度。

答：玻尔兹曼方程为

$$\mathrm{\frac{N_b}{N_a}=(\frac{g_b}{g_a})e^{−\frac{\Delta E}{kT}}}$$

根据给定的说明，原子数 $\mathrm{N_1}$ 和 $\mathrm{N_2}$ 相等。因此，原子数之比等于 1。

$$\mathrm{\frac{N_2}{N_1}=1}$$

氢的简并度 $\mathrm{g_n=2n^2}$

$$\mathrm{n=1\:then\:g_1=2(1)^2=2}$$

$$\mathrm{n=2\:then\:g_2=2(2)^2=8}$$

$$\mathrm{\frac{g_2}{g_1}=\frac{8}{2}=4}$$

将这些值应用于玻尔兹曼方程，

$$\mathrm{1=4e^{−\frac{\Delta E}{kT}}}$$

$$\mathrm{\frac{1}{4}=e^{−\frac{\Delta E}{kT}}}$$

在两边取 ln

$$\mathrm{ln(0.25)=-\frac{\Delta E}{kT}}$$

氢原子的 ΔE 为 $\mathrm{\Delta E=1.63×10^{−18}\:J}$

$$\mathrm{\therefore\:\:\:\:温度\:\:T=-\frac{\Delta E}{k(ln(0.25))}}$$

应用能量变化和玻尔兹曼常数值，我们得到，

$$\mathrm{T=8.53×10^4\:K}$$

结论

玻尔兹曼方程由路德维希·爱德华·玻尔兹曼提出。在1872年。他发展了统计力学，并取得了他一生中最大的成就。当流体运动时，热能和动量的物理量变化由玻尔兹曼方程计算。流体的热导率、粘度和电导率也可以通过玻尔兹曼方程获得。玻尔兹曼定律也称为斯特藩-玻尔兹曼定律。斯特藩是物理研究所的所长。玻尔兹曼与斯特藩密切合作。利用玻尔兹曼方程可以推导出质量、电荷、动量和能量守恒定律。它用于将经典力学重新表述为哈密顿力学。不同的数学方法有助于重新表述这一点。

常见问题

Q1. 什么是阿伏伽德罗常数？

答。在一摩尔物质中，有多少个分子称为阿伏伽德罗常数。$\mathrm{6.023×10^{23}}$ 是阿伏伽德罗常数的值，对于所有介质都是一个常数值。

Q2. 定义热力学第一定律和第二定律

答。系统所做的功与内能变化之和等于提供的热能。这就是热力学第一定律。

热力学第一定律定义了功和热之间的统一性。

热力学第二定律是热力学第一定律的过程是否发生。许多科学家对热力学第二定律给出了许多解释。

Q3. 什么是完美黑体？

答。当加热黑体时，如果它完全吸收落在其上的所有波长的热辐射，并发出所有波长的热辐射，则称为完美黑体。

Q4. 气体温度为 1000K。计算辐射能量。已知 $\mathrm{\sigma=5.67×10^{−8}\:Wm^{−2} K^{−4}}$。

答。给定温度

T=1000K

$$\mathrm{\sigma=5.67×10^{−8}\:Wm^{−2} K^{−4}}$$

$$\mathrm{辐射能量\:E=\sigma T^4}$$

$$\mathrm{E=(5.67×10^{−8})(1×10^3)^4}$$

$$\mathrm{E=5.67×10^4\:Wm^{−2}\:K^{−3}}$$

Q5. 说明牛顿冷却定律

答。物质的冷却速率与其周围环境和物质之间的温差成正比。该定律对于温度的小变化具有优势。辐射热能损失取决于表面的特性和未覆盖表面的面积。