玻尔兹曼常数 - 定义、公式、数值和应用

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介绍

玻尔兹曼常数用字母 $\mathrm{k_B}$ 表示。物理学中某些物理量随时间保持不变，是普适常数。这些被称为基本物理常数。例如，光速 (c)、普朗克常数 $\mathrm{(\hslash)}$、玻尔兹曼常数 $\mathrm{(k_B)}$ 就是这样的量。玻尔兹曼常数首次出现在统计物理学中。然而，它的重要性并不局限于该领域，如今它被广泛应用于化学、热力学等领域。玻尔兹曼常数以著名物理学家路德维希·玻尔兹曼命名。

他是一位奥地利物理学家。他最大的贡献是发展了统计力学。他还从事其他领域的研究，例如气体动力学理论和热力学。玻尔兹曼常数作为分子动能与其温度之间比例系数。

有趣的是，他著名的将熵与概率联系起来的方程式刻在他的维也纳墓碑上。

玻尔兹曼常数值

玻尔兹曼常数在 SI 单位制中的值为 $\mathrm{1.38×10^{−23} JK^{−1}}$。

其维度为：

$$\mathrm{ [k_B]=[ML^2 T^{−2} K^{−1}]}$$

出于不同的目的，它以不同的单位表示。以下是一些示例：

• 如果能量以 $\mathrm{eV}$ 表示，则 $\mathrm{k_B=8.61×10^{−5} eVK^{−1}}$

• 在 CGS 单位制中：$\mathrm{k_B=1.38×10^{−16} ergK^{−1}}$

• 在原子计算中，对于哈特里能量 $\mathrm{ E_H :\:\:k_B=3.16×10^{−6} E_H K^{−1}}$

• 在热噪声计算中：$\mathrm{k_B=-228.5991672 dB(W/K/Hz)}$

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什么是玻尔兹曼常数

玻尔兹曼推导出热力学概率和熵之间的关系。

$$\mathrm{S=f(\Omega)}$$

他计算出此函数 $\mathrm{f(\Omega)}$ 对熵的依赖性。

最终，他得出：

$$\mathrm{f(\Omega)=kln\Omega+C}$$

这里常数 k 对所有系统都相同。但玻尔兹曼本人无法说明常数 k 和 c 的意义和性质。

马克斯·普朗克利用了在 T=0K 时，熵为零的事实。因此

$$\mathrm{S=0=kln\Omega+c}$$

这意味着在 T=0K 时，Ω=1，c 应取零。这导致了著名的方程 -

$$\mathrm{S=k_B\:ln\Omega}$$

其中 $\mathrm{k_B}$ 被确定为玻尔兹曼常数。此关系是统计力学中一个非常重要的结果，被称为玻尔兹曼关系。

玻尔兹曼常数公式的意义

玻尔兹曼常数在物理学中起着非常重要的作用。以下是一些例子：

温度的 SI 单位

玻尔兹曼常数用于定义开尔文，即温度的 SI 单位。1K 定义为使 $\mathrm{k_B= 1.38× 10^{−23}\:J/K}$ 的温度。

玻尔兹曼因子

在统计力学中，玻尔兹曼因子给出在温度 T 下某种能态的占据概率。在这个公式中，玻尔兹曼因子出现在指数内。

$$\mathrm{P\:\propto\:exp(\frac{-E}{k_B T})}$$

能量均分定理

能量均分定理说明了系统温度与其平均能量之间的关系。它指出，每个自由度将对系统贡献 $\mathrm{\frac{1}{2}\:k_B\:T}$ 的能量。在这里我们可以看到玻尔兹曼常数的重要性。

宏观量和微观量之间的桥梁

玻尔兹曼常数作为宏观量和微观量之间的桥梁。正如我们在玻尔兹曼关系中看到的：

$$\mathrm{S =k_B lnΩ}$$

它作为宏观量熵和微观量热力学概率之间的比例系数。

普朗克定律

玻尔兹曼常数也存在于普朗克黑体辐射定律中。

$$\mathrm{f_ u (T) = \frac{2 u^{2} h u}{c^2(exp\lbrace\frac{hν}{k_B T}\rbrace -1)}}$$

这里 ν = 频率

$\mathrm{f_ u}$= 光谱辐射率

应用

玻尔兹曼常数可以应用于物理学的其他许多地方。以下是一些例子：

可以构成普朗克单位

使用四个基本常数——光速、普朗克常数、玻尔兹曼常数和万有引力常数——我们可以计算普朗克温度。

$$\mathrm{T_p=\sqrt{\frac{hc^5}{Gk^2B}}}$$

气体方程转换

理想气体方程可以写成：

$$\mathrm{PV = nRT,}$$

使用玻尔兹曼常数，我们可以用气体分子数来表示它。由于气体常数定义为 $\mathrm{R=k_B\:N_A}$，其中 $\mathrm{N_A}$ 是阿伏伽德罗常数。

因此

$$\mathrm{ PV=nk_B T }$$

热电压

我们还在二极管方程中使用它来定义热电压。

$$\mathrm{I_D=I_s\lbrace exp(\frac{eV_D}{nk_B T})\rbrace-1}$$

这里 $\mathrm{\frac{e}{k_B T}}$ 称为热电压，其在室温下的值为 25.9mV

热力学 β

玻尔兹曼常数和温度的乘积定义了一个称为 β 的量。

$$\mathrm{\beta=\frac{1}{k_B T}}$$

在统计力学中，它被认为比通常的热力学温度更基本的量。

热噪声

在电子器件中，热噪声功率由以下公式给出：

$$\mathrm{P=k_B T\Delta f}$$

在这里和其他相关的公式（如 RMS 电流和电压）中，玻尔兹曼常数作为比例常数出现。

结论

玻尔兹曼常数在物理学中起着重要的作用。它以著名物理学家路德维希·玻尔兹曼命名；然而，他并没有计算出它的值。它将分子的平均能量与温度联系起来。它的单位与熵相同。它可用于定义气体常数、热电压、逆温度等。

常见问题

Q1. 熵可以减少吗？从玻尔兹曼公式给出推理。

A1. 熵的值由下式给出：

$$\mathrm{S = k_B lnΩ}$$

我们知道玻尔兹曼常数是一个正数，对数的值不能为负。因此

$$\mathrm{S\ge 0\:总是}$$

Q2. 具有 3 个自由度的系统的平均能量是多少？

A2. 根据能量均分定理：一个自由度贡献 $\mathrm{\frac{1}{2}k_B T}$ 的能量。因此，由于三个自由度而产生的能量将是 $\mathrm{\frac{3}{2}k_B T}$

Q3. 如何测量玻尔兹曼常数？

A3. 到目前为止，玻尔兹曼常数已经通过多种方式测量。2018 年发布了可接受的值。以下是测量玻尔兹曼常数的两种最可靠的技术。

• 声学测温法：在这种方法中，物理学家利用声速与温度有关的事实。

• 介电常数气体测温法：在这种技术中，科学家利用介电常数和温度之间的关系。

Q4. 计算 $\mathrm{T=20^{\circ}\:C}$ 时的热电压？

A4. 热电压由 $\mathrm{\frac{e}{k_B T}}$ 给出

这里 $\mathrm{T=20^0 C=293K,k_B=1.38×10^{−23} JK^{−1}}$

因此，热电压 $\mathrm{=\frac{1.6×10^{−19}}{293 × 1.38 ×10^{−23}}=25.2mV}$

Q5. 给出玻尔兹曼常数在化学中应用的例子？

A5. 在化学中，温度与化学反应速率之间的关系由阿累尼乌斯方程给出。

$$\mathrm{k = A\:exp(-\frac{E_A}{k_B T})}$$

其中 k = 速率常数，$\mathrm{E_A}$= 活化能