数制的算术运算

数制是用一组符号来表示从共同基数或基底导出的值的集合。在一个数中，每个数字的值可以通过数字、数字在数中的位置和数制的基数来确定。基数定义为数制中可用数字的总数。这被称为位置数制。

数制
基数
使用的数字
二进制
2
0, 1
八进制
8
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
十进制
10
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
十六进制
16
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F


加法、减法、乘法和除法等算术运算在各种基数中执行。这些算术运算还可以使用r的补码和(r-1)的补码表示。

这些表示技术为各种算术运算持有基本定律

(i) 唯一存在定律：任意两个数的和与积唯一存在。其中0是加法的单位元，1是乘法的单位元。

(ii) 结合律：二进制数的加法和乘法满足结合律。

(iii) 交换律：二进制数的加法和乘法满足交换律。

(iv) 分配律：二进制数的乘法对加法中的两个或多个项满足分配律。

现在，各种数制的算术运算解释如下。

二进制数的算术运算

在二进制系统中，只有两个符号或可能的数字值，即0和1。由任何只有2个工作状态或可能条件的设备表示。通常用下标2或二进制(B)表示。

二进制算术是各种数字系统的基本组成部分。您可以使用各种方法对二进制数进行加、减、乘和除运算。这些运算比十进制数的算术运算容易得多，因为二进制系统只有两个数字：0和1。

二进制加法和减法与十进制加法和减法相同。当我们进行二进制加法时，将有两个输出：和(S)和进位(C)。二进制加法有四个规则，如下所示：


输入 A
输入 B
和 (S)
A+B
进位 (C)
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1

二进制减法有四个规则，如下所示：

输入 A
输入 B
差 (S)
A-B
借位 (B)
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0


需要从更高位的数字借位1来从0中减去1。所以结果变为0。

二进制乘法有四个规则，如下所示：


输入 A
输入 B
积 (M)
AxB
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1


只要至少一个输入为0，则乘积总是0。

除法有四个部分：被除数、除数、商和余数。二进制除法的规则如下：

输入 A
输入 B
商 (D)
A/B
0
0
未定义
0
1
0
1
0
未定义
1
1
1



当除数为0时，结果始终未定义。

八进制数的算术运算

它有基数为8，数字范围从0到7（即0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7）。通常用下标8或八进制(o)表示。

八进制数的算术运算也与十进制算术运算相同。八进制数的加法表如下所示




+
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
1
2
3
4
5
6
7
1
1
2
3
4
5
6
7
10
2
2
3
4
5
6
7
10
11
3
3
4
5
6
7
10
11
12
4
4
5
6
7
10
11
12
13
5
5
6
7
10
11
12
13
14
6
6
7
10
11
12
13
14
15
7
7
10
11
12
13
14
15
16


借助上表，我们可以进行八进制数的加法。

类似地，我们可以像十进制数的减法一样进行八进制数的减法。但是你只能借用数字7，这是八进制数系统中允许的最大数字。

在八进制数的乘法中，如果乘积小于八进制的基数（即8），则我们将其作为结果，否则将其除以八进制的基数（即8），并将余数作为LSB（最低有效位）。商作为下一个有效位中的进位。

类似地，八进制数的除法可以通过遵循十进制数的除法规则来执行，但允许的最大数字将是7。


十六进制数的算术运算

它有基数为16，数字范围从0到F（即0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9和A, B, C, D, E, F）。A、B、C、D、E、F分别相当于10、11、12、13、14、15的单个数字。通常用下标16或十六进制(H)或(h)表示。

十六进制数的算术运算可以使用十六进制数的加法表进行，如下所示

+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
2
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
3
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
4
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
5
5
7
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
6
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
7
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
8
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
9
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
A
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
B
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
C
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
D
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
E
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
1D
F
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
1D
1E


借助上表，我们可以进行十六进制数的加法。

十六进制数的减法可以使用补码方法或像十进制减法一样简单地进行。简单的十六进制减法的规则是从较高的位借来的数字计为16。

在十六进制数的乘法中，如果乘积小于十六进制的基数（即16），则我们将其作为结果，否则将其除以十六进制的基数（即16），并将余数作为LSB（最低有效位）。商作为下一个有效位中的进位。使用这些规则，您可以为十六进制乘法制作一个表。

类似地，十六进制数的除法可以通过遵循十进制数的除法规则来执行，但允许的最大数字将是F（在十进制中等于15）。

十进制数的算术运算

十进制数的算术运算非常流行且容易得多。这些运算在其他数制中也以相同的方式执行。

更新于：2019年7月30日

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