根据尼科马库斯定理，前 n 个整数的立方和等于第 n 个三角形数的平方。或者，我们也可以说——前 n 个自然数的立方和等于前 n 个自然数之和的平方。用代数表示，$$\mathrm{\displaystyle\sum\limits_{i=0}^n i^3=\lgroup \frac{n^2+n}{2}\rgroup^2}$$ 定理 $$1^3 = 1$$ $$2^3 = 3 + 5$$ $$3^3 = 7 + 9 + 11$$ $$4^3 = 13 + 15 + 17 + 19\vdots$$ 推广 $$n^3 =\lgroup n^2−n+1\rgroup+\lgroup n^2−n+3\rgroup+⋯+\lgroup n^2+n−1\rgroup$$ 数学归纳法证明 对于所有 n ∈ 自然数 ... 阅读更多

问题陈述 对于一个索引和一个 arr[]。检查 arr[] 是否可以被划分为两个不相交的集合，排除 arr[index]，使得两个集合的和相等。示例 1 输入 arr[] = {4, 3, 1, 2}，Index = 1 输出 否 解释 我们必须排除 arr[1] = 3 所有可能的集合是：集合 1：(4)，集合 2：(2, 1)，和 = 4≠3 集合 1：(4, 1)，集合 2：(2)，和 = 5≠2 集合 1：(4, 2)，集合 2：(1)，和 = 6≠1 没有组合满足条件。示例 2 输入 arr[] ... 阅读更多

平方三角形数，也称为三角形平方数，是一个既是三角形数又是完全平方数的数。平方三角形数有无限多个可能的值；前几个是：0, 1, 36, 1225, 41616... 三角形数或三角数计算的是排列成等边三角形的对象的个数。第 n 个三角形数是三角形排列中每边有 n 个点的点的个数，等于从 1 到 n 的 n 个自然数之和。三角形数的序列，... 阅读更多

简介 如今，Java 和 C++ 在竞赛编程中被广泛使用。这两种编程语言由于其令人印象深刻的特性，通常在工业和竞赛编程中使用。C++ 是一种常用的编程语言，因为它效率高、速度快且动态内存使用。在软件开发方面，Java 无与伦比。Java 在 IT 行业中被广泛使用。现在我们将了解 Java 和 C++ 如何相似。什么是 Java？Java 是一种面向对象编程、通用型和高级语言。它主要用于编写 Web 应用程序。Java ... 阅读更多

标题“无需临时变量交换四个变量”是什么意思？让我们来解读。这里的问题要求我们在不创建任何额外的临时变量的情况下交换四个变量的值。在各种编程语言中，使用临时变量暂时保存其中一个值可以简化交换两个变量的值。但是，当交换多个两个以上的变量的值时，使用临时变量会变得低效且耗时。解释 假设我们有四个变量 a、b、c 和 d，其值如下：a = 5 (101) b = 9 ... 阅读更多

你对问题“给定集合的所有可能子集的按位与之和”的理解是什么？让我们来解读。这个问题要求找到给定集合的所有可能子集的按位与之和。让我们用一个例子来理解这个问题。假设我们有一个集合 {1, 2, 3}。这个集合的可能子集是什么？可能的子集是 {1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3} 和 {1, 2, 3}。现在让我们计算每个子集的按位与。这些子集的按位与可以计算为... 阅读更多

问题“具有重复单数字的数字的平方”要求我们做什么？让我们来解读！问题“具有重复单数字的数字的平方”旨在找到像 33、44、555 等包含重复单数字的数字的平方。方法 1：朴素方法 我们可以使用朴素方法来计算数字的平方，这包括以下步骤：取数字作为输入使用乘法运算符计算平方，即 square_of_number = number * number 然后打印结果 C++ 实现 以下是上述方法的实现 示例 #include ... 阅读更多

你对标题“分离偶数和奇数”的理解是什么？让我们来解读。这个问题的目标是在保留元素顺序的同时分离输入数组中的偶数和奇数，这意味着偶数应该保持与输入中相同的相对顺序，奇数也应该保持与输入中相同的相对顺序。假设我们有 [3, 5, 2, 6, 8, 9, 10, 11] 作为输入，则输出将为 [2, 6, 8, 10, 3, 5, ... 阅读更多

你对标题“一点绕另一点 180 度旋转的反射”的理解是什么？让我们在这篇文章中解读它。让我们假设我们在二维平面上有两个点 (x1, y1) 和 (x2, y2)。其中 (x2, y2) 是旋转点，(x1, y1) 是要反射的点。现在，假设 x1, y1 绕 x2, y2 旋转 180 度，我们得到 x1'，y1'。现在，我们可以观察到，如果我们在二维平面上给出 2 个点，其中一个点绕第二个点旋转，则它... 阅读更多

你对标题中嵌入的问题“最大化给定半径半圆的值”的理解是什么？标题“最大化给定半径半圆的值”听起来不清楚。不是吗？让我们在下面的文章中讨论它的含义：根据标题，如果我们有一个半径为 R 的半圆，我们需要找到表达式 F = PS^2 + PQ 的最大值，其中 P 是半圆圆周上的一个点，PQ 和 PS 是连接 P 到两个端点的两条线段…… 阅读更多