给定半径的半圆中最大化一个值

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你如何理解标题中嵌入的问题，即给定半径的半圆中最大化一个值？

标题“给定半径的半圆中最大化一个值”听起来不太清晰，不是吗？让我们在下面的文章中讨论它的含义。

根据标题，如果我们有一个半径为 R 的半圆，我们需要找到表达式 F = PS² + PQ 的最大值，其中 P 是半圆圆周上的一个点，PQ 和 PS 是连接 P 到直径两端的两条线段。仍然不明白？请看下面的图，然后尝试理解。

你现在理解这个问题了吗？很好，现在让我们来看一下我们需要实现的解决问题的逻辑。

如果你仔细观察该图，你会注意到，无论点 P 在圆周上的位置如何，三角形 PQS 始终是一个直角三角形。

因此，由于 PQS 是直角三角形，我们可以使用勾股定理将该三角形的边关联起来，如下所示：

QS² = PQ² + PS² (h²= b²+p²)

由于 QS 是半圆的直径，我们知道 QS = 2R。将此代入上式，我们得到：

4R² = PQ² + PS²

• 我们可以将此方程改写如下：PS² = 4R² − PQ²

• 我们可以将 PS² 的此表达式代入 F 的表达式中，得到：F = 4R² − PQ² + PQ

现在进入下一步，你可能已经学习了最大值和最小值。为了找到 F 的最大值，我们可以使用最大值和最小值的 concept。我们对 F 关于 PQ 求导，并将导数设置为零以找到 F 的临界点。

dF/dPQ = −2PQ + 1

• 将此导数设置为零，我们得到：−2PQ + 1 = 0

• 解出 PQ，我们得到：PQ = ½

• 将 PQ 的此值代入 F 的表达式中，我们得到：

F = 4R² + 1/4

因此，F 的最大值为 4R² + 1/4，当 PQ = 1/2 时出现。此最大值与点 P 在半圆圆周上的位置无关。

方法

讨论了求解问题的逻辑之后，让我们讨论一下将上述逻辑转换为可运行代码的分步方法。

• 我们将以半圆的半径作为输入。

• 现在，我们将使用上面得出的公式来计算最大值 (4R² + 1/4)

• 现在我们将最大值打印到控制台。

C++ 代码实现

理论太多？现在，我们有了逻辑和方法，让我们将它们转换为可运行的代码。这是给定半径的半圆中最大化值的 C++ 代码实现。

示例

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;double findMaxF(double R) {    
   double F = 4 * R * R + 1.0 / 4.0;    
   return F;
}
int main() {    
   double R = 3.5;    
   double maxF = findMaxF(R);    
   cout << "The maximum value of F is: " << maxF << endl;    
   return 0;
}

输出

The maximum value of F is: 49.25

时间复杂度：O(1)

空间复杂度：O(1)

结论

在本文中，我们介绍了给定半径的半圆中最大化值的程序背后的逻辑。希望你现在对这个概念有清晰的了解。