平均值与计算

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简介

平均数是一个代表一组完整数值的单个值。

例如：班级平均分数为 80%，国家平均身高，平均寿命，特定区域的平均温度等。

平均数主要分为两类：数学平均数或平均值以及位置平均数。要找到位置平均数，我们可以使用中位数和众数。

平均数

平均数是给定数值集中间的数值。此外，平均而言，分子是所有给定值的总和，分母是给定值的总数。有限连续数的平均数始终是其中间值。求平均数的公式 -

$$\mathrm{平均值 =\frac{所有值的总和}{值的总数}}$$

要找到数学平均数或平均值，有三种方法，分别是算术平均数、几何平均数和调和平均数。

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算术平均数

在其他方法中，算术平均数是用于求平均数最常见的方法。算术平均数分为两种类型，分别是简单算术平均数和加权算术平均数。

简单算术平均数

在统计学中，数据会被收集、记录、整理和分析。每个观察值在算术平均数中都使用直接法或捷径法。观察值分为三种类型，分别是单个系列、离散系列和连续系列。下面提到了每种类型的公式 -

单个系列

• 直接法 - $\mathrm{\bar{x}=\frac{X_1+ X_2+X_3+...+X_n }{N}=\frac{\sum X}{N}}$

  其中 X¹+ X²+X³+...+Xⁿ = 值的总和

  N = 值的总数。

• 捷径法 $\mathrm{\bar{x}=A + \frac{\sum d}{N}}$

  其中 A = 假设值

  d = (x - A)

离散系列

• 直接法 - $\mathrm{ \bar{x}=\frac{\sum fX}{N}}$

  其中 f = 频数

• 捷径法 - $\mathrm{ \bar{x}=A + \frac{\sum fd}{N}}$

连续系列

• 直接法 - $\mathrm{\bar{x}=\frac{\sum fm}{N}}$

  其中 m = 中点

• 捷径法 - $\mathrm{ \bar{x}=A + \frac{\sum fd}{N}}$

  其中 d = (m - A)

加权算术平均数

在简单算术中，所有值都赋予相同的权重，而在加权算术中，值具有不同的权重。公式如下所示

$$\mathrm{\bar{x_w}=\frac{W_1 X_1+ W_2 X_2+.....+W_n X_n }{W_1 +W_2+....+W_n} \: (或)\: \bar{x_w} = \frac{\sum WX}{ΣW}}$$

其中 X = 变量值

W = 每个变量的权重

解题示例

1)在一场考试中，每门科目的权重不同。在 3 名学生中，只有得分最高的一人才会获得奖学金。现在，根据给定的数据，找出谁将获得奖学金。每门科目的权重分别为数学 - 5、物理 - 3、化学 - 2

科目	学生 A	学生 B	学生 C
数学	80	89	79
物理	96	92	95
化学	89	90	87

根据给定数据计算 $\mathrm{\underline{X_w}}$。

计算学生 A 的加权算术平均数，

使用公式，

$$\mathrm{\bar{x_{wA}}=\frac{W_1 X_1+ W_2 X_2+.....+W_n X_n}{W_1 +W_2+....+W_n }}$$

$$\mathrm{\bar{x_{wA}}=\frac{(5×80) + (3×96)+(2×89)}{5 + 3+ 2}}$$

$$\mathrm{= \frac{866}{10} = 86.6}$$

计算学生 B 的加权算术平均数，

使用公式，

$$\mathrm{\bar{x_{wB}}=\frac{W_1 X_1+ W_2 X_2+.....+W_n X_n}{W_1 +W_2+....+W_n }}$$

$$\mathrm{\bar{x_{wB}}=\frac{(5×89) + (3×92)+(2×90) }{5 + 3+ 2}}$$

$$\mathrm{=\frac{901}{10}=90.1}$$

计算学生 C 的加权算术平均数，

使用公式，

$$\mathrm{\bar{x_{wC}}=\frac{W_1 X_1+ W_2 X_2+.....+W_n X_n}{W_1 +W_2+....+W_n }}$$

$$\mathrm{\bar{x_{wC}}=\frac{(5×79) + (3×95)+(2×87) }{5 + 3+ 2 }}$$

$$\mathrm{=\frac{854}{10}=85.4}$$

根据加权算术平均数，学生 B 将获得奖学金。

2)使用假设平均数法求以下数据的算术平均数。

类别区间	0 - 5	5 - 10	10 - 15	15 - 20
频数	14	12	16	17

答案

类别区间	fi	中点 xi	di= xi-A A = 10	Σfi di
0 - 6	14	3	- 7	- 98
6 - 12	12	9	- 1	- 12
12 - 18	16	15	5	80
18 - 24	17	21	11	187
	Σfi= 59			Σfi di= 157

公式为 $\mathrm{\bar{x}=A+ \frac{\sum f_i d_i}{\sum f_i}}$

$\mathrm{\bar{x}=10+ \frac{157}{59}}$

$\mathrm{\bar{x}=10+ 2.66}$

$\mathrm{12.66}$

3)使用直接法求给定数据的算术平均数。

类别区间	2 - 11	12 - 20	21 - 29	30 - 38
频数	9	6	8	7

答案

每组类别区间之间的差值为 1。要使区间连续，请将上限减去 0.5，并将下限加上 0.5

C. I	改进后的 C. I	f	m	fm
2 - 11	2.5 - 11.5	9	7	63
12 - 20	11.5 - 20.5	6	16	96
21 - 29	20.5 - 29.5	8	25	200
30 - 38	29.5 - 38.5	7	34	238
		Σf = 30		Σfm =597

公式为 $\mathrm{\bar{x}=\frac{\sum fm}{N}}$

$$\mathrm{\bar{x}=\frac{597}{30}}$$

$\mathrm{\bar{x}=19.9}$

4)板球比赛中 25 个得分的平均数记录为 52。后来发现，两个 6 分被错误地记录为 4，5 分被错误地记录为 2。求正确的平均数。

答案

给定数据，N = 25

$$\mathrm{\bar{x}=52}$$

我们知道，$\mathrm{\bar{x}=\frac{\sum x}{N}}$

$$\mathrm{\sum x = \bar{x}. N}$$

Σx = 25 × 52 = 1300

其中 Σx 是错误的平均数

正确的 Σx = 错误的 Σx - 错误项 + 正确项

= 1300 - 4 - 2 + 6 + 5

= 1305

正确的 $\mathrm{\bar{x}=\frac{1305}{25}= 52.2}$

结论

数据是一组包含科学测量、调查和其他数据收集的数字。平均数是一个代表数值或术语集合的值。当值在算术平均数中较大时，算术平均数是经常用于求平均数的方法。为了简化，我们使用假设平均数法或捷径法。

常见问题

1. 离散函数和连续函数有什么区别？

在离散函数中，值是不相关的且易于测量的。

例如：想踢足球的学生人数 = 23

在连续函数中，值是相关的并且数据在一个范围内。

例如：在一个班级中，学生在考试中获得的分数在 70-85 的范围内

2. 简单算术平均数和加权算术平均数何时会产生相同的结果？

当所有给定的权重相等时，简单算术平均数等于加权算术平均数。我们得到 $\mathrm{\bar{x_w}=\bar{x}}$ 其中每个

$$\mathrm{w_1 = w_2= w_n.}$$

3. 对较高值应用较低的权重会发生什么？

当对较高值赋予较低的权重时，简单算术平均数的值大于加权算术平均数。

$$\mathrm{即，\bar{x} > \bar{x_w}}$$

4. 如何求连续数列的平均数？

连续数是遵循任何数列的连续数，例如 20 以内的奇数列表、前 20 个自然数等。要找到平均数，中心或中间数就是平均数。

5. 几何平均数和调和平均数可以在哪些地方应用？

几何平均数用于代替年增长率，调和平均数用于求速度的平均值。