连续性和不连续性

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简介

连续性和不连续性可以定义为统计学中用于预测或估计值的函数的属性。数学函数可以分为两种类型 - 连续变量和不连续变量。连续性是可以在图形上显示而不会断裂的函数的属性。另一方面，不连续性是函数在图形上具有不连接点的属性。在本教程中，我们将了解连续性和不连续性的概念以及示例。

连续性

在自然界中，连续性随处可见。例如，河流的流动、时间等，都是自然界中连续性的一些现实例子。在统计学中，我们也有具有数值的函数的连续性。

连续函数

在图形上，连续函数对应于连续图形。在代数上，只有当函数 f(a) 满足以下条件时，才能在点 a=x 处称为连续的

• f(x) 存在（这意味着 f(x) 的值是有限的。）

• $\mathrm{\lim_{a \rightarrow x}\:f(a)}$ 存在（即极限的两侧相等，并且它们都是有限的）

如果上述三个条件在区间中的每个点都满足，则称函数 f(a) 为连续函数。

多项式

多项式一词由两个词“poly”和“nominal”组成。“poly”表示多，“nominal”表示项。它是一个由两个或多个具有不同幂和相同变量的代数项组成的表达式，这些项由数学运算符连接在一起。

例如 $\mathrm{5x^{2}\:+\:2x\:-\:3}$

正弦和余弦函数

$$\mathrm{b\:=\:\sin\:a}$$

• $\mathrm{b\:=\:\sin\:a}$ 的根由 π(π) 的倍数找到

• 在 $\mathrm{\sin\:a\:=\:0}$ 处，图形穿过 X 轴。

• 正弦波的周期为 2π

$$\mathrm{b\:=\:\cos\:a}$$

• $\mathrm{\sin\:(a\:+\:\pi\:/\:2)\:=\:\cos\:a}$

• 如果将 sin a 图形向左移动 π/2 个单位，则得到 $\mathrm{b\:=\:\cos\:a,a\cos}$ 函数图形。

指数函数和对数函数

指数函数可以写成 $\mathrm{b\:=\:f(a)\:=\:x^{a}}$，其中“a”表示变量，“x”表示常数，称为底数 (𝑥 > 1)。数字“e”表示自然指数函数，其值为 2.71828。指数函数可以表示为 - $\mathrm{y\:=\:e^{x}}$

对数函数是指数函数的反函数。对数函数可以表示如下 -

假设 y > 1 是一个实数，使得 a 以 y 为底的对数为 $\mathrm{ya\:=\:x}$。x 以 y 为底的对数 $\mathrm{y\:\colon\:\log\:_{y}x}$。

因此 $\mathrm{\log\:_{y}x\:=\:a,if\:y^{a}\:=\:x}$

不连续性

如果一个函数不能满足成为连续函数的条件，那么该函数就是一个不连续函数。不连续的类型由函数无法满足的条件决定。

不连续函数及其不连续点的例子

在以下任何情况下，函数“f”在点𝑎 = 𝑥 处将是不连续的 -

• f(x) 未定义。

• $\mathrm{\lim_{a \rightarrow a^{+}}f(a)\:and\:\lim_{a \rightarrow a^{-}}f(a)}$ 存在但不相等。

• $\mathrm{\lim_{a \rightarrow a^{+}}f(a)\:and\:\lim_{a \rightarrow a^{-}}f(a)}$ 存在。两者彼此相等。两者都不等于 f(a)。

最大整数函数和最小整数函数

最大整数函数使用以下解释 -

• [a] = 小于等于“a”的最大整数

• [a] = 不大于“a”的最大整数

• [a] = “a”的整数部分

“[a]”的值可以由下式给出

$$\mathrm{f(a)\:=\:[a]\:=\:n;if\:n\:\leq\:a\leq\:n\:+\:1,n\:\varepsilon\:Z}$$

我们将最小整数函数解释为 -

• [a] = 大于或等于 a 的最小整数

• [a] = 不小于或等于 a 的最小整数

f(a) 的值是一个整数 (n)，使得 -

$$\mathrm{f(a)\:=\:n;if\:n\:-\:1\:<a\leq\:n,n\:\varepsilon\:Z}$$

三角函数（正弦和余弦除外）

有理函数

有理函数可以定义为 $\mathrm{R(a)\:=\:\frac{P(a)}{Q(a)}}$

其中 P(a) 和 Q(a) 是多项式 $\mathrm{Q(a)\neq\:0}$

符号函数

符号函数可以由以下定义

$$\mathrm{f(x)\:=\:1,\:if\:x>0}$$

$$\mathrm{f(x)\:=\:1,\:if\:x\:=\:0}$$

$$\mathrm{f(x)\:=\:-1,\:if\:x>0}$$

其中 x 是一个实数，范围为 {−1, 0, 1}

解题示例

1)对于函数 f(a) =

$\mathrm{5\:-\:2a\:\:\:\:\:for\:a<1}$

$\mathrm{3\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:for\:a\:=\:1}$

$\mathrm{a\:+\:2\:\:\:\:\:\:for\:a>1}$

证明该函数对于所有 a 的值都是连续的。

答案 - 由于该函数是线性的，因此该函数在图形上是一条直线，这意味着该函数对于所有 a≠ 1 都是连续的。现在对于 a = 1，我们必须检查条件。

左侧极限 -

$\mathrm{=\:\lim_{a \rightarrow 1^{-}}\:f(a)}$

$\mathrm{=\:\lim_{a \rightarrow 1^{-}}\:f(5\:-\:2a)}$

$\mathrm{=\:5\:-\:2\times\:1}$

$\mathrm{=\:3}$

右侧极限 -

$\mathrm{=\:\lim_{a \rightarrow 1^{+}}\:f(a)}$

$\mathrm{=\:\lim_{a \rightarrow 1^{+}}\:f(a\:+\:2)}$

$\mathrm{=\:1\:+\:2}$

$\mathrm{=\:3}$

在值 a=1 处

𝑓(1) = 3

由于所有条件都满足，因此我们可以说给定函数对于所有 a 都是连续的

2)对于函数

$\mathrm{f(a)\:=\:a^{2}\:for\:a<1,}$

$\mathrm{f(a)\:=\:0\:for\:a\:=\:1,}$

$\mathrm{f(a)\:=\:2\:-\:(a\:-\:1)^{2}\:for\:a>1,}$ 找到不连续性。

答案 - 左侧极限 $\mathrm{\lim_{a \rightarrow 1^{-}}f(a)\:=\:1}$ 和右侧极限 $\mathrm{\lim_{a \rightarrow 1^{+}}f(a)\:=\:2}$ 我们可以得出结论，函数的左侧极限≠右侧极限在𝑎 = 1 处有不连续性

$\mathrm{f(a)\:=\:a^{2}\:for\:a<1,\:f(a)\:=\:0\:for\:a\:=\:1\:,f(a)\:=\:2\:-\:(a\:-\:1)^{2}\:for\:a>1\:is\:a\:=\:1}$ 的不连续点

结论

在本教程中，我们学习了连续性和不连续性，以及一些连续的函数和一些不连续的函数，我们还学习了如何检查一个函数是否连续。连续函数对应于连续图形。连续性是可以在图形上显示而不会断裂的函数的属性。另一方面，不连续性是函数在图形上具有不连接点的属性。“poly”表示多，“nominal”表示项。

常见问题解答

1. 我们周围连续性的现实例子有哪些？

连续性的一些现实例子包括 -

我们大气中的气流是连续的，因为它从未停止。我们身体的毛发生长是一个连续的过程。

2. 性别可以是连续变量吗？

否，性别不能被认为是连续变量，因为它是固定的。它是一个离散变量。

3. 定义符号函数的范围？

符号函数的范围为 {−1, 0, 1}

4. 一次多项式的标准形式是什么？

一次多项式的标准形式为 $\mathrm{ax\:+\:b}$。

5. 什么是零多项式？

零多项式是指系数为零的多项式。