连续性方程

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简介

Praveen 和 Shubham 是好朋友。Praveen 买了一辆摩托车，和 Shubham 一起出去兜风。他们来到加油站，让加油员给摩托车加 10 升汽油。加油员开始加油，这时 Shubham 问 Praveen：“你怎么知道我们的摩托车油箱里会得到相同数量的汽油？”然后 Praveen 回答说：“你了解连续性方程吗？Shubham 说不知道，你能解释一下吗？”然后 Praveen 说，连续性方程告诉我们流体中质量守恒定律。这意味着从加油站储油罐中流出的流体量与进入摩托车油箱的流体量相同。之后他们去了公园，园丁正在用管道给植物浇水。Shubham 又问为什么园丁用手压着并扩展管道的口。Praveen 回答说这也与连续性方程的概念有关。当园丁压着管道的口时，他正在减小管道的横截面积，这会导致流经管道的水的速度增加，而当他再次扩展它时，流出的水的速度会降低。通过这样做，他只需站在一个地方就能浇灌较远和较近的植物。Praveen 继续说，水的速度与管道的面积成反比。然后 Shubham 要求 Praveen 在他们回家时详细解释连续性方程。

连续性方程的推导

连续性方程告诉我们，对于不可压缩流体，横截面积和速度的乘积始终为常数。但是这个说法是从哪里来的，在什么条件下？因此，连续性方程对理想流体有效。这意味着流体应该是不可压缩的、无粘性的，并且流动应该是稳定的。

在进入核心推导之前，让我们讨论一下这些术语 -

• 不可压缩流体：在这种情况下，我们必须假设如果我们压缩流体，并且其体积变化小于原始体积的 5%，则该流体将被视为不可压缩的。

• 无粘性流体：所有流体在它们之间都有多层。当流体流动时，这些层也会相互流动，并产生摩擦，这称为粘度。因此，这里我们必须假设所考虑的流体的粘度为零。

• 稳定流动：稳定流动意味着流体的特性不会随时间在特定点发生变化。在连续性方程的推导中，流体的特性是指流体的速度。

让我们开始推导不可压缩、无粘性和稳定流动的流体的连续性方程。

图片即将推出

图 1：管道

让我们以图 1 所示的管道为例。该管道有两个端部，其横截面积分别为 $\mathrm{A_1}$ 和 $\mathrm{A_2}$，如图 1 所示。让我们假设除了这两个开口外，管道没有其他开口或孔。让流体以速度 $\mathrm{V_1}$ 从具有横截面积 $\mathrm{A_1}$ 的端部进入。让我们假设在时间 ‘t’ 后，流体的那一部分行进的距离将为 𝚫x1。所以我们可以写 -

$\mathrm{\Rightarrow\:\Delta X 1\:=\:V1.t\:\:…..(1)}$

因此，时间 ‘t’ 后管道入口处流体的体积 $\mathrm{(V_f)}$ 将为 -

$\mathrm{\Rightarrow\:V_f\:=\:A1.\Delta X 1}$

使用 (1)，我们得到 -

$\mathrm{\Rightarrow\:V_f\:=\:A_1.V_1 t\:\:….. (2)}$

众所周知，密度可以写成 -

$\mathrm{\rho\:=\:m/(Vf)\:\:\:…… (3)}$

其中 m = 质量，$\mathrm{\rho}$ = 流体的密度

因此，直到时间 ‘t’ 管道入口处水的质量将为 -

$\mathrm{\Rightarrow\:m_1\:=\:\rho_1.A_1.V_1.t\:\:\:…… (4)}$

现在使用 (4)，我们可以将质量流量 (ṁ) 写成 -

$\mathrm{\Rightarrow\:m_1/t\:=\:m_1\:=\:\rho_1.A_1.V_1\:\:\:…… (5)}$

现在，类似地，我们可以为出口端写出质量流量 (ṁ) 的值 -

$\mathrm{\Rightarrow\:m_2\:=\:\rho_2.A_2.V_2\:\:\:…… (6)}$

现在我们知道质量根据质量守恒定律保持守恒。因此，进入管道的流体质量将等于流出管道的流体质量。类似地，在相同的时间间隔内，质量流量也将保持相同。所以，

$$\mathrm{\Rightarrow\:m_1\:=\:m_2}$$

使用方程 (5) 和 (6)，我们可以说 -

$\mathrm{\Rightarrow\:\rho_1.A_1.V_1\:=\:\rho_2.A_2.V_2\:\:\:……(7)}$

所以我们可以说 -

$\mathrm{\rho}$.A.V = 常数

此方程适用于所有类型的流体。

现在，由于我们假设流体是不可压缩的，因此密度在入口和出口处保持相同。所以，

$\mathrm{\Rightarrow\:\rho_1\:=\:\rho_2}$

因此，从方程 (7)，我们可以写出 -

$\mathrm{A_1.V_1 \:= \:A_2.V_2 }$

所以，我们可以写出 -

A.V = 常数

这是不可压缩流体的连续性方程。

连续性方程的应用

这个连续性方程在空气动力学和流体力学的各个领域都有用。它是推导伯努利定理最重要的方程之一。它将有助于各种测量设备（如文丘里流量计、孔板流量计等）的计算。

常见问题

Q1. 推导连续性方程所需的条件是什么？

回答 - 推导连续性方程的条件是流体 -

• 应该是不可压缩的

• 应该是无粘性的

• 应该具有稳定流动

Q2. 不可压缩流体是什么意思？

回答 - 不可压缩流体是指在压缩后密度变化可以忽略不计的流体。最大允许值为体积变化不应大于原始体积的 5%。

Q3. 稳定流动是什么意思？

回答 - 稳定流动意味着流体的特性在特定位置不会随时间变化。

Q4. 请说明可压缩和不可压缩流体的连续性方程公式。

回答 - 对于可压缩流体，连续性方程可以写成 -

$\mathrm{\rho}$.A.V = 常数

对于不可压缩流体，连续性方程可以写成 -

A.V = 常数

Q5. 连续性方程的应用有哪些？

回答 - 连续性方程可用于推导伯努利定理。它用于借助文丘里流量计、孔板流量计、流量计等设备计算许多物理量。它用于空气动力学和流体力学。