二次方程练习题

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简介

二次方程是一个最高次数为二的多项式方程。满足二次方程的值称为二次方程的根。求解二次方程并找到其根的方法有很多。可以使用因式分解法（拆分中间项）、将二次方程转换为完全平方和使用二次公式来计算根。

二次方程

• 二次方程是一个一元二次多项式方程。

• 二次方程的一般形式为 f(x)=ax²+bx+c=0，其中 x 是未知变量，a≠0，且 a、b、c ∈ R。

• a 是二次方程的最高次项系数，c 是二次方程的常数项。例如：3x²+5x+6=0，-x²+2x-1=0 等…

求解二次方程的方法

将未知变量的值代入二次方程后结果为零的值称为二次方程的根。由于二次方程的次数等于二，因此它有两个根。

以下方法用于计算根或求解二次方程：

配方法

考虑二次方程 f(x)=ax²+bx+c=0，其中 x 是未知变量，a≠0，且 a、b、c ∈ R。现在，要使用配方法找到二次方程的根，将 c 移到方程的另一侧。

现在确保 x² 的系数为 1。如果 a≠1，则将方程的两边除以 a。

$$\mathrm{x^2+\frac{b}{a} x=-\frac{c}{a}}$$

现在，在方程的两边加上 $\mathrm{(\frac{b}{2a})^2}$ 以在左侧形成一个完全平方，或者如果 a=1，则加上 $\mathrm{(\frac{b}{2})^2}$。

$$\mathrm{x^2+\frac{b}{a} x+ (\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+ (\frac{b}{2a})^2}$$

$$\mathrm{(x+\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+ (\frac{b}{2a})^2}$$

现在，在方程的两边取平方根并求解即可得到二次方程的根。

配方法示例

1) 使用配方法求解二次方程 x^2+6x-7=0？

将常数项移到方程的另一侧，

$$\mathrm{x^2+6x=7}$$

x² 的系数为 1，因此在方程的两边加上 $\mathrm{(\frac{b}{2})^2}$ 以在左侧形成一个完全平方。

在方程的两边加上 (3)²，

$$\mathrm{x^2+6x+9=7+9=16}$$

$$\mathrm{(x+3)^2=16}$$

现在，在两边取平方根得到，

$$\mathrm{x+3=±4}$$

x+3=4 和 x+3=-4

x=1，-7 是根。

2) 使用配方法求解二次方程 2x²+5x+3=0？

将常数项移到方程的另一侧，

$$\mathrm{2x^2+5x=-3}$$

x² 的系数为 2，因此将方程除以 $\mathrm{\frac{1}{2}}$。

$$\mathrm{x^2+\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}}$$

在方程的两边加上 $\mathrm{(\frac{b}{2a})^2}$ 以在左侧形成一个完全平方。zz

在方程的两边加上 $\mathrm{(\frac{5}{4})^2}$，

$$\mathrm{x^2+\frac{5}{2} x+(\frac{5}{4})^2=-\frac{3}{2}+(\frac{5}{4})^2}$$

现在，在两边取平方根得到，

$$\mathrm{(x+\frac{5}{4})^2=\frac{1}{16}}$$

$$\mathrm{x+\frac{5}{4}=±\frac{1}{4}}$$

x=-1，$\mathrm{-\frac{3}{2}}$ 是根。

二次公式

考虑二次方程 f(x)=ax²+bx+c=0，其中 x 是未知变量，a≠0，且 a、b、c ∈ R。现在，使用二次公式求解二次方程的根为：

$\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，将 a、b、c 的相应值代入公式。

二次公式示例

1) 使用二次公式求解二次方程 x^2+4x+1=0？

a、b、c 的值分别为 1、4、1。

$\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，将 a、b、c 的相应值代入公式以得到方程的根。

$$\mathrm{x=\frac{-4±\sqrt{4^2-4}}{2}=\frac{-4±√12}{2}=-2±\sqrt{3}}$$

$\mathrm{-2+\sqrt{3},-2-\sqrt{3}}$ 是根。

2) 使用二次公式求解二次方程 x^2+3x+6=0？

a、b、c 的值分别为 1、3、6。

$\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，将 a、b、c 的相应值代入公式以得到方程的根。

$$\mathrm{x=\frac{-3±\sqrt{3^2-24}}{2}=\frac{-3±\sqrt{-15}}{2}=\frac{-3±i\sqrt{15}}{2}}$$

$\mathrm{\frac{-3+i\sqrt{15}}{2},\frac{-3-i\sqrt{15}}{2}}$ 是根。

因式分解法（拆分中间项）

考虑二次方程 f(x)=ax^2+bx+c=0。现在，要使用因式分解法（拆分中间项）找到二次方程的根，让我们取两个数 p、q，使得这两个数的积等于 a 和 c 的积，这两个数的和等于 b。

p×q=a×c 且 p+q=b

现在代入 p+q=b

$$\mathrm{\mathit{f}(x)=ax^2+(p+q)x+c=0}$$

$$\mathrm{\mathit{f}(x)=ax^2+px+qx+c=0}$$

现在使用 p×q=a×c 取出公因数并将方程写成两个因式的乘积，然后将每个因式分别等于零，从而得到 x 的两个值，这两个值就是根。

拆分中间项示例

1) 使用因式分解法（拆分中间项）求解二次方程 x^2+7x+12=0？

a、b、c 的值分别为 1、7、12。

让我们取 a、c 的积，即 12。现在，写下 12 的因数。

12 的因数 = 1、2、3、4、6、12

现在，查找两个因数，它们的积等于 12，和等于 7。

3、4 满足条件。

现在，在二次方程中使用和拆分中间项

$$\mathrm{x^2+7x+12=0}$$

$$\mathrm{x^2+3x+4x+12=0}$$

现在，取公因数

$$\mathrm{x(x+3)+4(x+3)=0}$$

再次取出公因数，将上述方程写成两个因式的乘积。

$$\mathrm{(x+3)(x+4)=0}$$

这两个是二次方程的因式，分别求解线性方程以得到二次方程的根。

$$\mathrm{x+3=0; x+4=0}$$

x=-3，-4 是根。

2) 使用因式分解法（拆分中间项）求解二次方程 x^2-5x+6=0？

a、b、c 的值分别为 1、-5、6。

让我们取 a、c 的积，即 6。现在，写下 6 的因数。

6 的因数 = 1、2、3、6

现在，查找两个因数，它们的积等于 6，和等于 5。

-2，-3 满足条件。

现在，在二次方程中使用和拆分中间项

$$\mathrm{x^2-5x+6=0}$$

$$\mathrm{x^2-2x-3x+6=0}$$

现在，取公因数

$$\mathrm{x(x-2)-3(x-2)=0}$$

再次取出公因数，将上述方程写成两个因式的乘积。

$$\mathrm{(x-2)(x-3)=0}$$

这两个是二次方程的因式，分别求解线性方程以得到二次方程的根。

$$\mathrm{x-2=0; x-3=0}$$

x=2，3 是根。

结论

在本教程中，我们学习了二次方程、求解二次方程的方法、因式分解法（拆分中间项）及其示例、配方法及其示例、二次公式及其示例。

常见问题

1.二次方程 2x²+3x+4=0 中最高次项系数的值是多少？

最高次项系数的值为 2。

2.二次方程 ax²+bx+c=0 的二次公式是什么？

$\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，将 a、b、c 的相应值代入公式。

3.求解二次方程的方法有哪些？

• 因式分解法（拆分中间项）

• 配方法

• 二次公式

4.二次方程 x²-2x+5=0 中常数项的值是多少？

常数项的值等于 5。

5.如果多项式方程中 x² 的系数等于零会怎样？

那么该多项式方程不是二次方程。