二次方程根的性质

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简介

• 二次方程ax²+bx+c=0的解称为二次方程的根。

• 它们是方程所需的变量 x 的值。

• 二次函数的 x 截距的 x 坐标是函数的根。

• 二次方程最多只能有两个根，因为它的次数是 2。

• 这些二次方程根的性质完全取决于决定因素的值，该决定因素称为二次方程的判别式，我们将在本教程中讨论。

二次方程

• 代数中的二次方程是指任何可以转换为如下标准形式的方程：

  ax²+bx+c=0

• 其中x 代表未知数，a、b 和 c 是已知数，其中a≠0。

• 如果 a = 0，则方程是线性方程，而不是二次方程，因为 ax^2 项不存在。

• 方程的系数，由数字 a、b 和 c 表示，分别称为二次系数、一次系数和常数或自由项。

示例

x²+x+1=0、5x²-2=0、x²=0 是二次方程。（因为其最高次数为 2）

二次公式

• 如果 ax²+bx+c=0 是给定的二次方程，则求解此二次方程根的二次公式由下式给出：

  $$\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.}$$

• 这两个答案中的每一个也称为二次方程根（或零点）。

• 从几何上讲，这些根表示每个抛物线（特别是指定为 ax²+bx+c=y）与 x 轴相交的 x 值。

• 二次公式可用于确定任何抛物线的零点，以及抛物线的对称轴和二次方程中实零点的总数。

判别式

• 数学中多项式的判别式是一个取决于系数并确定根的不同特征的数。

• 它通常被描述为原始多项式系数的多项式函数。

• 在数论、代数几何和多项式因式分解中，判别式经常使用。符号 $\mathrm{\Delta}$ 常用于表示它。

对于 a≠0 的二次多项式 ax²+bx+c，其判别式为：

$$\mathrm{\Delta =b^2-4ac}$$

根据判别式的值确定根的性质

Δ=b²-4ac 是二次方程 ax²+bx+c=0 的判别式值

• 如果 Δ=0，则二次方程的两个根为实数且相等。

• 如果 Δ>0，则二次方程的两个根为实数且不相等。

• 如果 Δ < 0，则二次方程的两个根为非实数。

解题示例

1. 方程 x-2x²=0 是否为二次方程？

解答

代数中的二次方程是指任何可以转换为如下标准形式的方程：ax²+bx+c=0

由于 -2x²+x+0=0 符合 ax²+bx+c=0 的形式，因此给定方程是二次方程。

2. 二次多项式 x²-3x+7 的系数是什么？

解答

代数中的二次多项式是指任何可以转换为如下标准形式的多项式：ax²+bx+c。由于给定的多项式 x²-3x+7 符合 ax²+bx+c 的形式，因此系数为 a=1，b=-3，c=7

3. 确定以下二次方程 x²-8x=0 的判别式的值。

解答

Δ=b²-4ac 是二次方程 ax²+bx+c=0 的判别式值

因此，给定方程 x²-8x=0 的判别式的值由下式给出：

$$\mathrm{\Delta=(-8)^2-4(1)(0)=64-0=64}$$

因此，给定方程的判别式的值为 64。

4. 二次方程 2x²-4x+4=0 的根的性质是什么？

解答

Δ=b²-4ac 是二次方程 ax²+bx+c=0 的判别式值，二次方程根的性质由该判别式的值决定。我们首先计算此处判别式的值，如下所示：

$$\mathrm{\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4(2)(4)=16-32=-16< 0}$$

如果 Δ < 0，则二次方程的两个根为非实数。因此，二次方程的根是非实数值，我们也称之为复数。也就是说，给定方程的根是复数值。

5. 使用因式分解法计算二次方程 x²-7x=0 的零点，并说明此二次方程根的性质。

解答

$$\mathrm{x^2-7x=0}$$

$$\mathrm{x(x-7)=0}$$

$$\mathrm{x=0,x=7}$$

由于零点 0 和 7 是实数且不同的数。因此，给定二次方程根的性质是实数且不同。

结论

在本文中，我们学习了二次方程及其根、求解二次方程根的判别式方法，以及判别式的值如何帮助确定二次方程根的性质。

常见问题解答

1. 二次方程的关键三个组成部分是什么？

"ax²+bx+c" 中的 "a"、"b" 和 "c"，它们只是数字，是二次方程 ax²+bx+c=0 的 "数值系数"，它们是给您用来求解的，并用于二次公式。因此，它们是二次方程 ax²+bx+c=0 的关键组成部分。

2. 求解二次方程的四种方法有哪些？

求解二次问题的四种方法是因式分解、使用平方根、配方法和二次公式。

3. 为什么一个方程被称为二次方程？

在数学中，二次方程是一种特定类型的方程，它涉及平方，或将变量乘以自身。这个术语来源于这样一个事实：正方形的面积等于其边长的乘积本身。“二次”一词源于拉丁语“quadratum”，意思是正方形。

4. 根的形成取决于什么？

判别式决定了二次方程根的特征。“性质”指的是可能存在的不同类型的根，包括实数、有理数、无理数和虚数。

5. 如何判断两个根是否相等？

为了理解二次方程的根的类型（形式为 ax²+bx+c=0），必须计算判别式，它等于 b²-4ac。当判别式大于零时，根是不相等且为实数。当判别式等于零时，根是相等且为实数。

6. 任何抛物线都可以没有根吗？

如果二次函数的判别式小于零，则该函数没有实根，并且它所表示的抛物线不与 x 轴相交。因此，如果抛物线不与 x 轴相交或相切，则它可以没有根。

7. 如何判断根是有理数还是无理数？

如果判别式为正数且为完全平方数，则根是有理数或无理数。如果判别式为正数且不是完全平方数，则根为无理数。