二次方程问题

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引言

二次方程是最高次数为二的多项式方程。满足二次方程的值称为其根。求解二次方程并找到其根的方法有几种。可以使用分解法（拆分中间项）、将二次方程转化为完全平方和使用二次公式来计算根。

二次方程

二次方程是一个关于一个变量的，次数为二的多项式方程。二次方程的一般形式为f(x)=ax²+bx+c=0，其中x是未知变量，a≠0，且a,b,c∈R。a是二次方程的最高次项系数，c是二次方程的常数项。例如：3x²+5x+6=0，-x²+2x-1=0，等等……

求解二次方程的方法

将未知变量的值代入二次方程后结果为零的值称为二次方程的根。由于二次方程的次数为二，因此它有两个根。

以下方法用于计算根或求解二次方程：

用拆分中间项法分解因式

考虑二次方程f(x)=ax^2+bx+c=0。现在，为了使用拆分中间项法求解二次方程的根，让我们取两个数p,q，使得这两个数的乘积等于a和c的乘积，这两个数的和等于b。

p×q=a×c 且 p+q=b

现在代入p+q=b

$$\mathrm{\mathit{f}(x)=ax^2+(p+q)x+c=0}$$

$$\mathrm{\mathit{f}(x)=ax^2+px+qx+c=0}$$

现在，利用p×q=a×c提取公因式，将方程写成两个因式的乘积，然后将每个因式分别等于零，得到x的两个值，这就是方程的根。

拆分中间项的例子

1) 使用分解因式法（拆分中间项）求解二次方程x²+7x+12=0？

a,b,c的值分别为1, 7, 12。

让我们取a,c的乘积，即12。现在，写下12的因数。

12的因数 = 1, 2, 3, 4, 6, 12

现在，寻找两个因数，它们的乘积等于12，和等于7。

3, 4满足条件。

现在，使用这个和来拆分二次方程中的中间项

$$\mathrm{x^2+7x+12=0}$$

$$\mathrm{x^2+3x+4x+12=0}$$

现在，提取公因式

$$\mathrm{x(x+3)+4(x+3)=0}$$

再次提取公因式，将上述方程写成两个因式的乘积。

$$\mathrm{(x+3)(x+4)=0}$$

这两个是二次方程的因式，分别解线性方程以得到二次方程的根。

$$\mathrm{x+3=0; x+4=0}$$

x=-3,-4是方程的根。

2) 使用分解因式法（拆分中间项）求解二次方程x^2-5x+6=0？

a,b,c的值分别为1, -5, 6。

让我们取a,c的乘积，即6。现在，写下6的因数。

6的因数 = 1, 2, 3, 6

现在，寻找两个因数，它们的乘积等于6，和等于-5。

-2, -3满足条件。

现在，使用这个和来拆分二次方程中的中间项

$$\mathrm{x^2-5x+6=0}$$

$$\mathrm{x^2-2x-3x+6=0}$$

现在，提取公因式

$$\mathrm{x(x-2)-3(x-2)=0}$$

再次提取公因式，将上述方程写成两个因式的乘积。

$$\mathrm{(x-2)(x-3)=0}$$

这两个是二次方程的因式，分别解线性方程以得到二次方程的根。

$$\mathrm{x-2=0; x-3=0}$$

x=2,3是方程的根。

配方法

考虑二次方程f(x)=ax²+bx+c=0，其中x是未知变量，a≠0，且a,b,c∈R。现在，为了使用配方法求解二次方程的根，将c移到方程的另一边。

$$\mathrm{ax^2+bx=-c}$$

现在确保x^2的系数是1。如果a≠1，则将方程的两边都除以$\mathrm{\frac{1}{a}}$。

$$\mathrm{x^2+\frac{b}{a} x=-\frac{c}{a}}$$

现在，在方程的两边都加上$\mathrm{(\frac{b}{2a})^2 }$，以在左边构成一个完全平方，如果a=1，则加上$\mathrm{(\frac{b}{2})^2 }$

$$\mathrm{x^2+\frac{b}{a}x+ (\frac{b}{2a} )^2=-\frac{c}{a}+ (\frac{b}{2a})^2}$$

$$\mathrm{(x+\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+ (\frac{b}{2a})^2}$$

现在，对方程的两边都开平方，然后求解即可得到二次方程的根。

配方法的例子

1) 使用配方法求解二次方程x²+6x-7=0？

将常数项移到方程的另一边，

$$\mathrm{x^2+6x=7}$$

x²的系数是1，所以在方程的两边都加上$\mathrm{(\frac{b}{2})^2}$，以在左边构成一个完全平方。

在方程的两边都加上(3)²，

$$\mathrm{x^2+6x+9=7+9=16}$$

$$\mathrm{(x+3)^2=16}$$

现在，两边开平方，得到：

$$\mathrm{x+3=±4}$$

x+3=4 和 x+3=-4

x=1,-7是方程的根。

2) 使用配方法求解二次方程2x²+5x+3=0？

将常数项移到方程的另一边，

$$\mathrm{2x^2+5x=-3}$$

x²的系数是2，所以将方程的两边都除以$\mathrm{\frac{1}{2}}$。

$$\mathrm{x^2+\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}}$$

在方程的两边都加上$\mathrm{(\frac{b}{2a})^2}$，以在左边构成一个完全平方。

在方程的两边都加上$\mathrm{(\frac{5}{4})^2}$，

$$\mathrm{x^2+\frac{5}{2} x+(\frac{5}{4})^2=-\frac{3}{2}+(\frac{5}{4})^2}$$

现在，两边开平方，得到：

$$\mathrm{(x+\frac{5}{4})^2=\frac{1}{16}}$$

$$\mathrm{x+\frac{5}{4}=±\frac{1}{4}}$$

x=-1,$\mathrm{-\frac{3}{2}}$是方程的根。

二次公式

考虑二次方程f(x)=ax²+bx+c=0，其中x是未知变量，a≠0，且a,b,c∈R。现在，使用二次公式求解二次方程的根为：

$\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，将a,b,c的相应值代入公式。

二次公式的例子

1) 使用二次公式求解二次方程x^2+4x+1=0？

a,b,c的值分别为1, 4, 1。

$\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，将a,b,c的相应值代入公式以得到方程的根。

$$\mathrm{x=\frac{-4±\sqrt{4^2-4}}{2}=\frac{-4±√12}{2}=-2±√3}$$

-2+√3,-2-√3是方程的根。

2) 使用二次公式求解二次方程x²+3x+6=0？

a,b,c的值分别为1, 3, 6。

$\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，将a,b,c的相应值代入公式以得到方程的根。

$$\mathrm{x=\frac{-3±\sqrt{3^2-24}}{2}=\frac{-3±\sqrt{-15}}{2}=\frac{-3±i\sqrt{15}}{2}}$$

$\mathrm{\frac{-3+i\sqrt{15}}{2},\frac{-3-i\sqrt{15}}{2}}$是方程的根。

结论

在本教程中，我们学习了二次方程、求解二次方程的方法、用拆分中间项法分解因式及其示例、配方法及其示例、二次公式及其示例。

常见问题

1. 二次方程2x²+3x+4=0中最高次项系数的值是多少？

最高次项系数的值是2。

2. 二次方程ax²+bx+c=0的二次公式是什么？

$\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，将a,b,c的相应值代入公式。

3. 求解二次方程的方法有哪些？

• 用拆分中间项法分解因式

• 配方法

• 二次公式

4. 二次方程x²-2x+5=0中常数项的值是多少？

常数项的值等于5。

5. 如果多项式方程中x²的系数等于零会怎样？

那么这个多项式方程就不是二次方程。