多项式的次数

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简介

多项式的次数是指各个单项式次数中最大的次数。多项式是一种代数表达式，其中所有变量的指数必须是正整数。每个多项式中变量的指数必须是非负整数。可以将多项式视为数学中的方言。它们被用于表示几乎所有数学领域中的数字，并在特定数学领域中使用。

您可以执行算术运算，例如多项式加法、多项式减法、多项式乘法和正整数的指数运算，但不能执行变量除法。

在本教程中，我们将讨论多项式和多项式的次数。

多项式

多项式是一种代数表达式，其中所有变量的指数必须是正整数。每个多项式中变量的指数必须是非负整数。多项式由常数和变量组成，您可以执行算术运算，例如多项式加法、多项式减法、多项式乘法和正整数的指数运算，但不能执行变量除法。

例如，6x²+ 5x +5 是一个二次多项式。

多项式的项

多项式的项通常是方程式中由“+”或“-”号分隔的部分。“项”是指一个数字与一个或多个变量的乘积，其中变量的幂为正整数。也就是说，没有根号或变量除法。

求解二次或三次方程的第一步是找到使方程式成立的变量值（或值）。二次或三次方程式所需的该值（或值）称为其根、解或零点。

多项式的次数

单项式的次数是其变量指数的和。多项式的次数是具有非零系数的单项式（单个项）的最高次数。项的次数是非负整数。

例如，P(x)=6x³+ 2x²+1

此三次方程的次数为 3。

常数

在代数表达式和方程式中出现的固定值称为常数。常数的值是固定的，不会随时间变化。

x+y = 8 是一个代数表达式，而 8 是一个不能改变的常数。

变量

随时间变化或变化的量称为变量。与常数不同，它不会保持不变。例如，人的身高和体重是变量，因为它们并不总是恒定的。

代数公式 x+y = 8 中的变量 x 和 y 是可变的。

根据次数的不同，多项式可分为

多项式的次数定义为首项的幂或变量的最高幂。这是通过按幂降序排列多项式的项来实现的。根据多项式的次数，它们主要分为四种类型。

• 0 次或常数多项式 - 次数为零的多项式称为零多项式。

• 一次多项式 - 次数为一的多项式称为一次多项式。在一次多项式中，变量的最高指数为 1。

• 二次多项式 - 二次多项式是次数为二的多项式。

• 三次多项式 - 三次多项式是次数为三的多项式。

2 次和 3 次多项式的系数和零点之间的关系

零点和系数之间存在明确的数学关系，多项式中的零点个数等于多项式的次数。

对于二次方程：设方程为 ax² + bx + c = 0，其根为 α 和 β

则，根的和 = $\mathrm{α +β=\frac{-b}{a}}$

且，根的积 = $\mathrm{α ×β=\frac{c}{a}}$

对于三次方程：设方程为 ax³+bx² + cx + d = 0，其根为 α、β 和 Υ

则，根的和 = $\mathrm{α +β+γ=\frac{-b}{a}}$

且，根的积 = $\mathrm{α ×β×γ=\frac{-d}{a}}$

以及 $\mathrm{αβ+βγ+γα=\frac{c}{a}}$

例题

1) 求一次多项式 8x – 8 的零点。

答：给定的一次多项式为 8x – 8，要找到它的零点，首先将其等于零

$$\mathrm{8x – 8=0}$$

$$\mathrm{\Rightarrow 8x=8}$$

$$\mathrm{\Rightarrow x=1}$$

因此，给定多项式的零点为 1。

2) 因式分解给定多项式 x²+3x+ 2

答：给定二次多项式 x²+3 x+2

$$\mathrm{x^2+3 x+2 = x^2+2 x+x+2}$$

$$\mathrm{=x ( x+2 )+( x+2 )}$$

$$\mathrm{=( x+2 ) ( x+1 )}$$

3) 求二次多项式 x²+4x+4 的零点

答：给定二次多项式 x²+4x+4，要找到它的零点，首先将其等于 0。

$$\mathrm{x^2+4x+4= (x+2)^2=0 }$$

$$\mathrm{\Rightarrow x=-2 }$$

因此，给定多项式的零点为 -2

4) 简化给定多项式 ( x²+2 x+1 )×( x+1 )

答：给定多项式为 (x²+2x+1)×(x+1)

$$\mathrm{\Rightarrow (x^2.x+2x.x+1.x)+(x^2+2x+1)}$$

$$\mathrm{\Rightarrow (x^3+2x^2+x)+(x^2+2x+1)}$$

$$\mathrm{\Rightarrow x^3+3x^2+3x+1}$$

5) 使用恒等式简化 (x+4)²=2。

答：给定方程为 (x+4)²=16

$$\mathrm{x^2+4^2+8x=16}$$

$$\mathrm{\Rightarrow x^2+8x=0}$$

$$\mathrm{\Rightarrow x(x+8)=0}$$

$$\mathrm{\Rightarrow x=0\: and\: x=-8}$$

6) 使用恒等式简化 (x-2)²=1。

答：给定方程为 (x-2)²=1

$$\mathrm{x^2+2^2-4x=1}$$

$$\mathrm{\Rightarrow x^2-4x+3=0}$$

$$\mathrm{\Rightarrow x^2-3x-x+3=0}$$

$$\mathrm{\Rightarrow x(x-3)-1(x-3)=0}$$

$$\mathrm{\Rightarrow (x-3)(x-1)=0}$$

$$\mathrm{\Rightarrow x=1 \: and\: x=3}$$

结论

多项式是一种代数表达式，其中所有变量的指数必须是正整数。多项式可以有任意（有限）个项。一般表达式将给出为

$$\mathrm{f(x)=a_n x^n +a_{ n - 1} x^{n-1}+ a_{n-2} x ^{n -2} +................+ a_1 x^{1} + a_0}$$

其中 a₀,a₁,a₂,a₃,a₄,........ 是多项式的系数，x 是一个变量，其幂必须仅为正整数。

常见问题

1. 什么是多项式？

多项式是一种代数表达式，其中所有变量的指数必须是正整数。多项式可以有任意（有限）个项。

2. 多项式的一般表达式是什么？

一般表达式将给出为

$$\mathrm{f(x)=a_n x^n +a_{ n - 1} x^{n-1}+ a_{n-2} x ^{n -2} +................+ a_1 x^{1} + a_0}$$

其中 a₀,a₁,a₂,a₃,a₄,........ 是系数，x 是一个变量，其幂必须仅为正整数。

3. 什么是给定多项式的次数？

次数是具有最高次数的单项式（单个项）的指数之和。项的次数是非负整数，因为它将是所包含变量的指数之和。

4. 二次方程的一般方程是什么？

二次方程的一般方程为 ax₂+ bx + c = 0。

5. 什么是多项式的零点？

给定多项式的零点是多项式为零的点。多项式的零点是指使多项式变为零的点。将该值代入多项式，整个多项式的值将等于零。