尺寸分析

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前言

简单来说，维度就是用数学的方法来研究任何对象的性质。为了查看一个人的身高，或者确定一个圆有多大，我们一直在使用维度和大小来对我们周围的物体进行量化。维度分析仅指不同物理量与测量单位之间的关系。在本文中，我们将讨论它的确切含义、它的出处以及我们在当下可以看到的各种应用。

什么是维度分析？

维度分析是一种分析，用于了解不同物理量与基础量之间的关系。国际量纲体系给出的基础量为：长度、质量、时间、电流、物质的量和光度。

执行维度分析的基本方法要求我们用这 6 个单位表示任何可测量量的参数。例如，力可以用质量（千克）乘以加速度来表示，SI 单位称为牛顿。但是，公式中的加速度可以分解为长度乘以时间平方($\mathrm{ms^{-2}}$)。

因此，这给了我们最终用基础单位表示的所有力单位（$\mathrm{kg.m.s^{-2}}$），即质量、长度和时间。这个例子使我们对维度分析有了大致的了解。它可以用方括号及 M、L 和 T 表示为 −

$$\mathrm{F=[MLT^{-2}]}$$

同质性原理

同质性原理是维度分析最基本的法则。为了理解这一原理，我们来看一下以下术语及其含义 −

可公度的量：具有相同量纲的物理量 不可公度的量：具有不同量纲的物理量 齐次性原理表明，无论哪两个或更多个不可公度的量均不能相加、相等、相减，甚至无法进行比较。

有一个解释该原理的著名的类比词组——“苹果与桔子”。它通常用来阐述两个对象之间的差异，以及它们为何无法在物理上进行比较

此原理含义为，对于一条表达式或一个方程式来说，只有对可公度的量进行相加、相减和比较才有物理意义。不能将苹果的质量与香蕉的长度相加。但可以将苹果的质量与香蕉的质量相加（这一操作可以安全地为我们提供总质量）。与之相反，苹果的质量除以香蕉的长度是完全可以接受的。用非常简单的语言来说，方程式两边单位应当具有相同的单位/量纲。

量纲分析的应用

量纲分析被广泛用于解决和分析涉及量的实际生活问题。量纲分析的主要应用如下

• 可以用它检查任何公式或方程的正确性。由于齐次性原理要求方程两边单位相同，因此它是检查任何复杂方程是否有效的极好方法。

• 可以用它找出任何未知物理常数的单位：同样，在验证齐次性原理并了解它时，我们可以在方程中找出未知量。

• 它用于找到其他单位制中一些物理量的单位。

• 它还可以用来推导各种复杂量的公式和新关系。

求解示例

Q1. 使用量纲分析，检查公式$\mathrm{F=\frac{mv^{2}}{r^{2}}}$是否正确？

答。力的量纲公式为$\mathrm{MLT^{-2}}$

$$\mathrm{[MLT^{-2}]=\frac{[M][LT^{-1}]^{2}}{[L]^{2}}}$$

$$\mathrm{=[ML^{2-2}T^{-2}]}$$

$$\mathrm{=[MT^{-2}]}$$

RHS$\mathrm{
eq}$LHS，即公式两边的量纲不相等。因此，根据齐次性原理，该公式不正确。

Q2. 找出能量的量纲？

答。能量定义为做功的能力。为了方便，我们考虑势能，其公式为$\mathrm{m\times g\times h}$，其中‘m’是质量，‘g’是重力加速度，h是高度。

因此，

$$\mathrm{E=[M][LT^{-2}][L]}$$

$$\mathrm{E=[ML^{2}T^{-2}]}$$

Q3. 检查运动方程的正确性：v=u+at，其中所有变量均具有其常规意义。

答。已知$\mathrm{v=u+at}$

RHS: $\mathrm{v=[LT^{-1}]}$

LHS: $\mathrm{u+at=[LT^{-1}]+[LT^{-2}][T]}$

$$\mathrm{[LT^{-1}]=[LT^{-1}]+[LT^{-2+1}]}$$

$$\mathrm{=[LT^{-1}]=[LT^{-1}]+[LT^{-1}]}$$

在 LHS 中，我们看到两个具有相同量纲的量正在相加，这是可以接受的，因为它们相加后将生成一个具有相同量纲的量。此外，它与 RHS 的量纲相匹配。因此，该方程有效且正确。

Q4. 在一些理论中，时间周期 T 被视为依赖于压力 P、密度 $\mathrm{\rho }$和能量 E。利用量纲分析，推导出表示 T、P、E 和 $\mathrm{\rho }$之间关系的公式。

答。根据问题，我们有

$$\mathrm{T=CP^{a}\rho ^{b}E^{c}}$$

其中 C 是无量纲常数

将量纲代入此方程，

$$\mathrm{[T]=C[ML^{-1}T^{-2}]^{a}[ML^{-3}]^{b}[ML^{2}T^{-2}]^{c}}$$

$$\mathrm{[T]=C[M^{+b+c}L^{-a-3b+2c}T^{-2a-2c}]}$$

现在，比较两边基本单位的次幂

$$\mathrm{0=a+b+c}$$

$$\mathrm{1=-2a-2c}$$

$$\mathrm{0=-a-3b+2c}$$

求解以上线性方程，我们得到

$$\mathrm{a=-\frac{5}{6};b=1;c=\frac{1}{3}}$$

即，公式变为 $\mathrm{T=C\frac{\rho ^{1/2} E^{1/3}}{P^{5/6}}}$, 其中 C 是无量纲常数。

局限性

虽然量纲分析在许多领域极大地有助于将困难的技术问题简化成可控问题，但这种分析方法仍然有一些局限性，可列举如下

• 它无法提供有关物理常数值的信息。

• 在使用量纲分析推导方程时，该方法无法提供有关涉及三角、对数和指数项的表达式的思路。

• 量纲分析无法告诉我们物理量是标量还是矢量。

• 它不能用于推导包含取决于三个以上物理量的表达式。

结论

量纲分析有助于确定不同物理量单位与基本量之间的关系。它可用于检查物理公式和方程式：任何方程式的两边必须具有相同的量纲。此外，它还可以作为更轻松推导物理系统方程的绝佳指南，而不是使用任何严格推导方式。

常见问题解答

问 1. 无量纲量是什么意思？给几个例子。

答：没有物理量纲，且相应国际单位制单位为 1 的量被称为无量纲量。例如：折射率、雷诺数、相对磁导率。

问 2. 量纲常数是什么意思？给几个例子。

答：具有固定量纲且具有固定值的不变量被称为量纲常数。它们也具有一些相应的国际单位制单位。例如：普朗克常数和引力常数。

问 3. 量纲分析的另一个名称是什么？

答：量纲分析也称为单位因子法或因子标签法。

问 4. 找到熵的量纲公式？

答：熵由如下公式给出

$$\mathrm{\Delta S=\frac{\Delta Q}{T}}$$

其中，热量 Q 具有热能的量纲，表示为 $\mathrm{\left [ ML^{2}T^{-2} \right ]}$。因此，熵的量纲公式由如下公式给出

$$\mathrm{S=\frac{\left [ ML^{2}T^{-2} \right ]}{K}=[ML^{2}T^{-2}K^{-1}]}$$

问 5. 齐次性原理允许用不同量纲的两个物理量进行除法和乘法运算吗？为什么？

答：是的。两个不相称量的乘法和求商都被允许。它将为我们提供另一个与方程式的右侧相匹配的单位，从而满足该关系。