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法学C++ 中求第 N 项（矩阵幂运算示例）
在这个问题中，我们给定一个整数 N 和一个递归函数，该函数给出了第 N 项作为其他项的函数。我们的任务是创建一个程序来查找第 N 项（矩阵幂运算示例）。
函数为：
T(n) = 2*( T(n-1) ) + 3*( T(n-2) ) Initial values are T(0) = 1 , T(1) = 1
让我们来看一个例子来理解这个问题：
输入
N = 4
输出
41
解释
T(4) = 2* (T(3)) + 3*(T(2)) T(4) = 2* ( 2*(T(2)) + 3*(T(1)) ) + 3*( 2* (T(1)) + 3*(T(0)) ) T(4) = 2*( 2*(2* (T(1)) + 3*(T(0))) + 3*(1) ) + 3*(2*(1) + 3*(1)) T(4) = 2*(2 * (2 *(1) + 3*(1) )) + 3 ) + 3 * (5) T(4) = 2*(2 * (2 + 3) + 3) + 15 T(4) = 2*(2 * (5) + 3) + 15 T(4) = 2*(10 + 3) + 15 T(4) = 2*(13) + 15 = 26 + 15 = 41
解决方案方法
解决这个问题的一个简单方法是使用递归或迭代。我们可以将第 n 项作为对前几项的递归调用，并使用初始值来找到结果。
程序说明了我们解决方案的工作原理：
示例
#include <iostream>
using namespace std;
long calcNthTerm(long n) {
if(n == 0 || n == 1)
return 1;
return ( ( 2*(calcNthTerm(n-1)) ) + ( 3*(calcNthTerm(n-2)) ) );
}
int main() {
long n = 5;
cout<<n<<"th term of found using matrix exponentiation is "<<calcNthTerm(n);
return 0;
}输出
5th term of found using matrix exponentiation is 121
高效方法
解决这个问题的一个高效方法是使用矩阵幂运算的概念。在这种方法中，我们将使用一个变换矩阵来查找第 N 项。
为此，我们需要找到变换矩阵。该矩阵取决于相关项的数量（此处为 2），以及初始值 T(0) = 1, T(1)= 1。
变换矩阵的大小为 k*k。当它与大小为 k*1 的初始矩阵相乘时，会返回下一项。
以下是值：
初始矩阵 =
$$\begin{bmatrix}1 & 0 \end{bmatrix}$$
变换矩阵 =
$$\begin{bmatrix}2&3 \\ 1&0 \end{bmatrix}$$
Tn 的值给出为 TM(n-1)*IM
$$\begin{bmatrix}2&3 \\ 1&0 \end{bmatrix}^{n-1}*\begin{bmatrix}1 \\ 1 \end{bmatrix}$$
程序说明了我们解决方案的工作原理：
示例
#include <iostream>
using namespace std;
#define MOD 1000000009
long calcNthTerm(long n) {
if (n <= 1)
return 1;
n--;
long resultantMat[2][2] = { 1, 0, 0, 1 };
long transMat[2][2] = { 2, 3, 1, 0 };
while (n) {
long tempMat[2][2];
if (n & 1) {
tempMat[0][0] = (resultantMat[0][0] * transMat[0][0] +
resultantMat[0][1] * transMat[1][0]) % MOD;
tempMat[0][1] = (resultantMat[0][0] * transMat[0][1] +
resultantMat[0][1] * transMat[1][1]) % MOD;
tempMat[1][0] = (resultantMat[1][0] * transMat[0][0] +
resultantMat[1][1] * transMat[1][0]) % MOD;
tempMat[1][1] = (resultantMat[1][0] * transMat[0][1] +
resultantMat[1][1] * transMat[1][1]) % MOD;
resultantMat[0][0] = tempMat[0][0];
resultantMat[0][1] = tempMat[0][1];
resultantMat[1][0] = tempMat[1][0];
resultantMat[1][1] = tempMat[1][1];
}
n = n / 2;
tempMat[0][0] = (transMat[0][0] * transMat[0][0] +
transMat[0][1] * transMat[1][0]) % MOD;
tempMat[0][1] = (transMat[0][0] * transMat[0][1] +
transMat[0][1] * transMat[1][1]) % MOD;
tempMat[1][0] = (transMat[1][0] * transMat[0][0] +
transMat[1][1] * transMat[1][0]) % MOD;
tempMat[1][1] = (transMat[1][0] * transMat[0][1] +
transMat[1][1] * transMat[1][1]) % MOD;
transMat[0][0] = tempMat[0][0];
transMat[0][1] = tempMat[0][1];
transMat[1][0] = tempMat[1][0];
transMat[1][1] = tempMat[1][1];
}
return (resultantMat[0][0] * 1 + resultantMat[0][1] * 1) % MOD;
}
int main() {
long n = 5;
cout<<n<<"th term of found using matrix exponentiation is "<<calcNthTerm(n);
return 0;
}输出
5th term of found using matrix exponentiation is 121
更新于：2021年3月13日
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