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法学用因式分解法求解下列二次方程的根
(i) $x^2 -3x – 10 = 0$
(ii) $2x^2 + x – 6 = 0$
(iii) $\sqrt{2}x^2 + 7x + 5\sqrt{2} = 0$
(iv) $2x^2 – x + \frac{1}{8} = 0$
(v) $100x^2 – 20x+ 1 = 0$
解题步骤
我们需要用因式分解法求解给定的二次方程的根。
解答
(i) $x^2-3x-10=0$
$x^2-5x+2x-10=0$
$x(x-5)+2(x-5)=0$
$(x-5)(x+2)=0$
$x-5=0$ 或 $x+2=0$
$x=5$ 或 $x=-2$
因此，该二次方程的根为$-2$和$5$。
(ii) $2x^2+x-6=0$
$2x^2+4x-3x-6=0$
$2x(x+2)-3(x+2)=0$
$(x+2)(2x-3)=0$
$x+2=0$ 或 $2x-3=0$
$x=-2$ 或 $2x=3$
$x=-2$ 或 $x=\frac{3}{2}$
因此，该二次方程的根为$-2$和$\frac{3}{2}$。
(iii) $\sqrt{2}x^2+7x+5\sqrt2=0$
为了分解$\sqrt{2}x^2+7x+5\sqrt2=0$，我们需要找到两个数$m$和$n$，使得$m+n=7$且$mn=\sqrt{2}\times(5\sqrt{2})=5(\sqrt2)^2=10$。
如果$m=5$且$n=2$，则$m+n=5+2=7$且$mn=(5)(2)=10$。
$\sqrt{2}x^2+5x+2x+5\sqrt2=0$
$\sqrt{2}x(x+\sqrt2)+5(x+\sqrt2)=0$
$(\sqrt{2}x+5)(x+\sqrt2)=0$
$\sqrt{2}x+5=0$ 或 $x+\sqrt2=0$
$\sqrt{2}x=-5$ 或 $x=-\sqrt2$
$x=-\frac{5}{\sqrt2}$ 或 $x=-\sqrt2$
$x$的值为$-\frac{5}{\sqrt2}$和$-\sqrt2$。
(iv) $2x^2 – x + \frac{1}{8} = 0$
$\frac{8(2x^2)-8(x)+1}{8}=0$
$16x^2-8x+1=0(8)$
$16x^2-8x+1=0$
$16x^2-4x-4x+1=0$
$4x(4x-1)-1(4x-1)=0$
$(4x-1)(4x-1)=0$
$4x-1=0$ 或 $4x-1=0$
$4x=1$ 或 $4x=1$
$x=\frac{1}{4}$ 或 $x=\frac{1}{4}$
因此，该二次方程的根为$\frac{1}{4}$和$\frac{1}{4}$。
(v) $100x^2 – 20x+ 1 = 0$
$100x^2-10x-10x+1=0$
$10x(10x-1)-1(10x-1)=0$
$(10x-1)(10x-1)=0$
$10x-1=0$ 或 $10x-1=0$
$10x=1$ 或 $10x=1$
$x=\frac{1}{10}$ 或 $x=\frac{1}{10}$
因此，该二次方程的根为$\frac{1}{10}$和$\frac{1}{10}$。
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