使用配方法求解下列二次方程的根（如果存在）
(i) $2x^2 - 7x + 3 = 0$
(ii) $2x^2 + x - 4 = 0$
(iii) $4x^2 + 4\sqrt3x + 3 = 0$
(iv) $2x^2 + x + 4 = 0$

解题步骤

我们必须使用配方法求解给定的二次方程的根。

解答

(i) $2x^2 - 7x + 3 = 0$

$2(x^2 - \frac{7}{2} x +\frac{3}{2}) = 0$

$x^2 - \frac{7}{2} x +\frac{3}{2} = 0$

$x^2 - 2\times \frac{1}{2}\times \frac{7}{2} x = -\frac{3}{2}$

$x^2 - 2\times \frac{7}{4} x = -\frac{3}{2}$

在两边加上$(\frac{7}{4})^2$可以配方。因此，

$x^2 - 2\times (\frac{7}{4}) x + (\frac{7}{4})^2 = -\frac{3}{2}+(\frac{7}{4})^2$

$(x-\frac{7}{4})^2=-\frac{3}{2}+\frac{49}{16}$      (因为 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$)

$(x-\frac{7}{4})^2=\frac{49-3\times8}{16}$

$(x-\frac{7}{4})^2=\frac{49-24}{16}$

$(x-\frac{7}{4})^2=\frac{25}{16}$

$x-\frac{7}{4}=\pm \sqrt{\frac{25}{16}}$     (两边开方)

$x-\frac{7}{4}=\pm \frac{5}{4}$

$x=\frac{7}{4}+\frac{5}{4}$ 或 $x=\frac{7}{4}-\frac{5}{4}$

$x=\frac{7+5}{4}$ 或 $x=\frac{7-5}{4}$

$x=\frac{12}{4}$ 或 $x=\frac{2}{4}$

$x=3$ 或 $x=\frac{1}{2}$

$x$的值为 $3$ 和 $\frac{1}{2}$。

(ii) $2x^2+x - 4 = 0$

$2(x^2 + \frac{1}{2} x -\frac{4}{2}) = 0$

$x^2 + \frac{1}{2} x -2 = 0$

$x^2 + 2\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2} x = 2$

$x^2 + 2\times \frac{1}{4} x = 2$

在两边加上$(\frac{1}{4})^2$可以配方。因此，

$x^2 + 2\times (\frac{1}{4}) x + (\frac{1}{4})^2 = 2+(\frac{1}{4})^2$

$(x+\frac{1}{4})^2=2+\frac{1}{16}$      (因为 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$)

$(x+\frac{1}{4})^2=\frac{1+2\times16}{16}$

$(x+\frac{1}{4})^2=\frac{1+32}{16}$

$(x+\frac{1}{4})^2=\frac{33}{16}$

$x+\frac{1}{4}=\pm \sqrt{\frac{33}{16}}$     (两边开方)

$x=\sqrt{\frac{33}{16}}-\frac{1}{4}$ 或 $x=-\sqrt{\frac{33}{16}}-\frac{1}{4}$

$x=\frac{\sqrt{33}-1}{4}$ 或 $x=-(\frac{\sqrt{33}+1}{4})$

$x$的值为 $\frac{\sqrt{33}-1}{4}$ 和 $-(\frac{\sqrt{33}+1}{4})$。 

(iii) $4x^2 + 4\sqrt3 x + 3 = 0$

$4(x^2 + \sqrt3 x +\frac{3}{4})=0$

$x^2+2\times \frac{1}{2} \times \sqrt3 x =-\frac{3}{4}$

$x^2+2\frac{\sqrt3}{2}x=-\frac{3}{4}$

在两边加上$(\frac{\sqrt3}{2})^2$可以配方。因此，

$x^2+2\frac{\sqrt3}{2}x+(\frac{\sqrt3}{2})^2=-\frac{3}{4}+(\frac{\sqrt3}{2})^2$

$(x+\frac{\sqrt3}{2})^2=-\frac{3}{4}+\frac{3}{4}$      (因为 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$)

$(x+\frac{\sqrt3}{2})^2=0$

$x+\frac{\sqrt3}{2}=0$

$x=-\frac{\sqrt3}{2}$ 或 $x=-\frac{\sqrt3}{2}$

$x$的值为 $-\frac{\sqrt3}{2}$ 和 $-\frac{\sqrt3}{2}$。 

(iv) $2x^2+x + 4 = 0$

$2(x^2 + \frac{1}{2} x +\frac{4}{2}) = 0$

$x^2 + \frac{1}{2} x + 2 = 0$

$x^2 + 2\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2} x = -2$

$x^2 + 2\times \frac{1}{4} x = -2$

在两边加上$(\frac{1}{4})^2$可以配方。因此，

$x^2 + 2\times (\frac{1}{4}) x + (\frac{1}{4})^2 = -2+(\frac{1}{4})^2$

$(x+\frac{1}{4})^2=-2+\frac{1}{16}$      (因为 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$)

$(x+\frac{1}{4})^2=\frac{1-2\times16}{16}$

$(x+\frac{1}{4})^2=\frac{1-32}{16}$

$(x+\frac{1}{4})^2=\frac{-31}{16}$

$x+\frac{1}{4}=\pm \sqrt{\frac{-31}{16}}$     (两边开方)

$x=\sqrt{\frac{-31}{16}}-\frac{1}{4}$ 或 $x=-\sqrt{\frac{-31}{16}}-\frac{1}{4}$

$x=\frac{\sqrt{-31}-1}{4}$ 或 $x=-(\frac{\sqrt{-31}+1}{4})$

因此，给定二次方程没有实数根。  

教程点

更新于：2022年10月10日

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