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法学集合的函数
一个**函数**将集合的每个元素精确地映射到相关集合的一个元素。函数在各个领域都有应用，例如表示算法的计算复杂度、计数对象、研究序列和字符串等等。本部分的第三章也是最后一章重点介绍了函数的重要方面。
函数 - 定义
函数或映射（定义为 f: X → Y）是将一个集合 X 的元素与另一个集合 Y 的元素相关联的关系（X 和 Y 是非空集合）。X 称为函数 ‘f’ 的定义域，Y 称为函数 ‘f’ 的值域。
函数 ‘f’ 是 X 和 Y 上的关系，使得对于每个 x ∊ X，都存在唯一的 y ∊ Y，使得 (x,y) ∊ R。‘x’ 称为函数 f 的原像，‘y’ 称为函数 f 的像。
函数可以是一对一或多对一，但不能是一对多。
单射/一对一函数
如果对于每个 b ∊ B，最多存在一个 a ∊ A 使得 f(s) = t，则函数 f: A → B 是单射或一对一函数。
这意味着如果 a1 ≠ a2 则 f(a1) ≠ f(a2)，则函数 **f** 是单射的。
示例
f: N → N, f(x) = 5x 是单射的。
f: N → N, f(x) = x2 是单射的。
f: R → R, f(x) = x2 不是单射的，因为 (-x)2 = x2
满射/映上函数
如果函数 f: A → B 的像等于其值域，则函数 f: A → B 是满射的。等效地，对于每个 b ∊ B，都存在某个 a ∊ A 使得 f(a) = b。这意味着对于 B 中的任何 y，都存在 A 中的某个 x 使得 y = f(x)。
示例
f : N → N, f(x) = x + 2 是满射的。
f : R → R, f(x) = x2 不是满射的，因为我们找不到平方为负数的实数。
双射/一一对应
当且仅当 **f** 既是单射又是满射时，函数 f: A → B 是双射或一一对应的。
问题
证明由 f(x) = 2x – 3 定义的函数 f: R → R 是双射函数。
**解释** − 我们必须证明此函数既是单射又是满射。
如果 f(x1) = f(x2)，则 2x1 – 3 = 2x2 – 3，这意味着 x1 = x2。
因此，f 是**单射**的。
这里，2x – 3 = y
所以，x = (y+3)/2 属于 R 且 f(x) = y。
因此，f 是**满射**的。
由于 **f** 既是**满射**又是**单射**的，所以我们可以说 **f** 是**双射**的。
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