不完全指定逻辑函数的最小化

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在布尔代数或逻辑代数中，逻辑函数是一个数学表达式，它指定逻辑电路的输入和输出之间的关系。布尔函数可以分为两种类型：**完全指定逻辑函数**和**不完全指定逻辑函数**。

完全指定逻辑函数是指其输出对于每种可能的输入组合都是确定或已定义的函数，而布尔函数的输出值至少对于一种输入组合未指定的则称为不完全指定逻辑函数。

在不完全指定逻辑函数中，未定义输出的输入变量组合称为**无关项**。

在本文中，我们将通过示例讨论不完全指定逻辑函数的最小化。

示例 1

将布尔表达式最小化到其最小形式：

$$F\left ( A,B,C,D \right )=\sum m\left ( 0, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 15 \right )+d\left ( 2,4 \right )$$

解答

我们可以观察到，给定的布尔函数有两个无关项，即 2 和 4，因此它是不完全指定逻辑函数。我们可以使用卡诺图 (Karnaugh Map) 最小化技术来最小化此函数。

给定不完全指定逻辑函数的卡诺图表示如下面的图 1 所示。

在图 1 所示的卡诺图中，简化步骤如下：

• **步骤 1** - 没有孤立的 1。

• **步骤 2** - 极小项 m₀ 与极小项 m₂（无关项）、m₈ 和 m₁₀ 构成一个四个方格。构成四个方格并将其读取为 $\bar{B}\bar{D}$

• **步骤 3** - 极小项 m₃ 与极小项 m₇、m₁₁ 和 m₁₅ 构成一个四个方格。构成四个方格并将其读取为 $CD$。

• **步骤 4** - 极小项 m₈ 与极小项 m₉、m₁₀ 和 m₁₁ 构成一个四个方格。构成四个方格并将其读取为 $A\bar{B}$。

• **步骤 5** - 将所有乘积项写成 SOP（积之和）形式。

因此，给定不完全指定逻辑函数的最小 SOP 表达式为：

$$F_{min}=\bar{B}\bar{D}+A\bar{B}+CD$$

示例 2

最小化以下布尔表达式：

$$F\left ( A,B,C,D \right )=\sum m\left ( 1, 3, 7, 11, 15 \right )+d\left ( 0, 2, 5 \right )$$

解答

我们可以观察到，给定的布尔函数有三个无关极小项。因此，它是不完全指定逻辑函数。

现在，让我们使用卡诺图简化技术将此表达式最小化到最小形式。给定函数的卡诺图表示如图 2 所示。

在图 2 所示的卡诺图中，不完全指定函数的最小化步骤如下：

• **步骤 1** - 没有孤立的 1。

• **步骤 2** - 极小项 m1 与极小项 m₀（无关项）、m₂（无关项）和 m₃ 构成一个四个方格。构成四个方格并将其读取为 $\bar{A}\bar{B}$。

• **步骤 3** - 极小项 m₇ 与极小项 m₇、m₁₁ 和 m₁₅ 构成一个四个方格。构成四个方格并将其读取为 $CD$。

• **步骤 4** - 将所有乘积项写成 SOP 形式。

因此，给定不完全指定逻辑函数的最小布尔表达式为：

$$F_{min}=\bar{A}\bar{B}+CD$$

这就是关于布尔代数中不完全指定逻辑函数最小化的全部内容。