数据结构
网络
关系数据库管理系统
操作系统
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C 语言编程
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理学
化学
生物学
数学
英语
经济学
心理学
社会学
时尚研究
法律研究反三角函数的性质
简介
反三角函数的性质与其值域和定义域相关。反三角函数被定义为一些基本三角函数（如正弦、余弦、正切、正割、余割和余切函数）的反函数。反三角函数也称为弧函数和反圆函数。这些反三角函数表达式允许您根据任何三角函数比找到任何角度。这些表达式源自三角函数的性质。它表示为：
sin−1,cos−1,sec−1,cosec−1,cot−1,andtan−1
反三角函数也称为弧函数和反圆函数。您将使用这些反三角函数表达式根据任何三角函数比找到任何角度。在本教程中，我们将讨论反三角函数的性质。
三角函数
三角函数和恒等式是直角三角形的边角比。在三角函数中，使用六个基本三角函数。这些函数是三角函数。六个基本三角函数分别是正弦函数、余弦函数、正割函数、余割函数、正切函数和余切函数。直角三角形的边分别是垂直边、斜边和底边，用于根据公式计算正弦、余弦、正切、正割、余割和余切的值。
Explore our latest online courses and learn new skills at your own pace. Enroll and become a certified expert to boost your career.
反三角函数
基本圆函数（三角函数）的反函数称为反三角函数。反三角函数与基本三角函数密切相关，作为学习主题。在数学中，反三角函数（也称为弧函数、反三角函数或反圆函数）是三角函数的反函数（相应定义的定义域是有限的）。反三角函数表示为：sin−1,cos−1,sec−1,cosec−1,cot−1,andtan−1 反三角函数包含基本三角函数的所有表达式。
反三角函数的性质
基本性质有助于我们解决问题。一些重要的性质如下：
对于 x 的反函数，反三角函数将提供的反三角函数转换为其反函数。这来自循环函数，其中正弦和余割是倒数，正切和余切是倒数，因此余弦和正割是倒数。或者，反正弦、反余弦和反正切的反三角函数表达式通常写成：
所有六个三角函数都适用于任意值的反三角函数表达式。对于反三角函数的正弦、正切和余弦函数，负值转换为负值。此外，对于余割、正割和余切定理函数，负值
sin−1(1x)=cosec−1(x)wherex≥1orx≤−1
sin−1(cosθ)=π2−θ,ifθε[0,π]
通过添加互余的反三角函数可以得到直角。唯一的条件是 x 值在两个互余部分中必须相同，即反三角函数的互余函数之和将等于 π2
使用给定公式计算反三角函数的和与差。然后，您将使用这些反三角函数表达式来计算双函数和三函数表达式。
sin−1=cosec−1(1x)wherexε[−1,1]−{0}
cos−1=sec−1(1x)wherexε[−1,1]−{0}
tan−1(x)=cot−1(1x)ifx>0(or)cot−1(1x)−π,ifx<0
cot−1(x)=tan−1(1x)ifx>0(or)tan−1(1x)+π,ifx<0
sin−1(−x)=−sin−1(x)
tan−1(−x)=−tan−1(x)
cos−1(−x)=π−cos−1(x)
sec−1(−x)=π−sec−1(x)
cot−1(−x)=−cosec−1(x)
cosec−1(−x)=−cosec−1(x)
cos−1(1x)=sec−1(x)wherex≥1orx≤−1
tan−1(1x)=−π+cot−1(x)
cos−1(sinθ)=π2−θ,ε[−π2,π2]
cosec−1(secθ)=π2−θε[0,π]−(π2)
sec−1(cosecθ)=π2−θifθε[−π2,0]∪[0,π2]
cot−1(tanθ)=π2−θifθε[−π2,π2]
tan−1(cotθ)=π2−θifθε[0,π]
sin−1(x)+cos−1(x)=π2
tan−1(x)+cot−1(x)=π2
sec−1(x)+cosec−1(x)=π2
sin−1(x)+sin−1(y)=sin−1[x√1−y2+y√1−x2]
cos−1(x)+cos−1(y)=cos−1[xy−√1−x2√1−y2]
上述公式已从反三角函数公式列表中编辑。此外，所有基本三角表达式都转换为反三角表达式，并分类为上述四个表达式的集合。随机值、倒数和互补函数、函数的和与差、双函数和三函数。
定义域和值域
在数学中，反三角函数（也称为弧函数、反三角函数或反圆函数）是反三角函数的反函数（相应定义的定义域是有限的）。反三角函数表示为：
sin−1,cos−1,sec−1,cosec−1,cot−1,andtan−1
| 序号 | 函数 | 值域 | 定义域 |
|---|---|---|---|
| 1 | y=sin−1(x) | −π2≤y≤π2 | −1leqx≤1 |
| 2 | y=cos−1(x) | 0≤y≤π | −1leqx≤1 |
| 3 | y=tan−1(x) | −π2≤y≤π2 | xεR |
| 4 | y=cot−1(x) | 0<y<π | xεR |
| 5 | y=cosec−1(x) | −π2≤y≤π2y≠0 | x≤−1orx≥1 |
| 6 | y=sec−1(x) | 0≤yπ,y≠π2 | x≤−1orx≥1 |
导数
反三角函数通常表示为在三角前缀中添加弧或添加 -1 的幂，如下所示：
例如：
我们将使用 arcsin 的示例。您可以使用任何其他反函数。
f(x)=arcsin(x)
通过在两边“撤消”函数来求解 x。
x=sin(f(x))
对两边关于 x 求导。
1=cos(f(x))f′(x)
除以求解 f′(x)
1cos(f(x))=f′(x)
替换 f(x)：
1cos(f(x))
这基本上是答案，但有些人喜欢用直角三角形技术进一步简化它
f′(x)=1√1−y2=ddxsin−1(x)
f(x)=arctan(x)
通过在两边“撤消”函数来求解 x。
x=tan(f(x))
对两边关于 x 求导
1=sec2(f(x))f′(x)
f(x)=1sec2(f(x))
f′(x)=1sec2(arctanx)
f′(x)=11+x2=ddxtan−1(x)
反三角函数的导数如下：
| 函数 | 导数(dydx) |
|---|---|
| y=sin−1(x) | 1√1−x2 |
| y=cos−1(x) | −1√1−x2 |
| y=tan−1(x) | 11+x2 |
| y=cot−1(x) | −11+x2 |
| y=cosec−1(x) | 1|x|√1−x2 |
| y=sec−1(x) | −1|x|√1−x2 |
例题
1) 求 y=tan−1(x) 的导数
答案：y=tan−1(x)
通过在两边“撤消”函数来求解 x。
x=tan(f(x))
对两边关于 x 求导
1=sec2(f(x))f′(x)
f′(x)=1sec2(f(x))
f′(x)=1sec2(arctanx)
这基本上是答案，但有些人喜欢用直角三角形技术进一步简化它：
f′(x)=11+x2=ddxtan−1(x)
2) 求 y=sin−1(x) 的导数
答案：y=sin−1(x)
通过在两边“撤消”函数来求解 x。
x=sin(f(x))
对两边关于 x 求导。
1=cos(f(x))f′(x)
除以求解 𝑓′(𝑥)
1cos(f(x))=f′(x)
替换 f(x)：
1cos(arcsin(x))=f′(x)
这基本上是答案，但有些人喜欢用直角三角形技术进一步简化它：
f′(x)=1√1−x2=ddxsin−1(x)
3) 如果 sec−1(2)+cosec−1(x)=π2，则使用反三角函数的性质求 x 的值
答案：根据反三角函数的性质。
sec−1(x)+cosec−1(x)=π2
给定方程为 sec−1(x)+cosec1(x)=π2
现在比较这两个方程，得到 x 的值为 2。
4) 求 cos−1(−12) 的主值
答案：设 y=cos−1(−12)
这可以写成：
cosy=−12
cosy=cos(2π3)
因此，cos−1 的主值范围为 [0,π]
因此，cos−1(−12)的主值为2π3
结论
反三角函数（也称为弧函数、反三角函数或反圆函数）是反三角函数的反函数（相应定义的定义域是有限的）。反三角函数的性质基于函数的定义域和值域。
常见问题
1. 反三角函数是什么意思？
基本圆函数（三角函数）的反函数称为反三角函数。
2. 六个基本三角函数是什么？
这些函数是三角函数。六个基本三角函数是正弦函数、余弦函数、正割函数、余割函数、正切函数和余切函数。
3. 三角函数是什么意思？
三角函数和恒等式是直角三角形的边长比。在三角函数中使用了六个基本三角函数：正弦、余弦、正切、正割、余割和余切。这些函数是三角函数。
4. 反三角函数有什么用？
如果知道直角三角形的两条边的长度，则可以使用反三角函数求解未知角的度数。
5. sin−1(x)和cos−1(x) 的值域和定义域是什么？
sin−1(x)的值域为−π2≤y≤π2
cos−1(x)的值域为0≤y≤π
sin−1(x)的定义域为−1≤x≤1
cos−1(x)的定义域为−1≤x≤1
73 次浏览
