反三角函数的性质

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简介

反三角函数的性质与其值域和定义域相关。反三角函数被定义为一些基本三角函数（如正弦、余弦、正切、正割、余割和余切函数）的反函数。反三角函数也称为弧函数和反圆函数。这些反三角函数表达式允许您根据任何三角函数比找到任何角度。这些表达式源自三角函数的性质。它表示为：

$$\mathrm{\sin^{-1}\:,\:\cos^{-1}\:,\:\sec^{-1}\:,\:cosec^{-1}\:,\:\cot^{-1}\:,\:and\:\tan^{-1}}$$

反三角函数也称为弧函数和反圆函数。您将使用这些反三角函数表达式根据任何三角函数比找到任何角度。在本教程中，我们将讨论反三角函数的性质。

三角函数

三角函数和恒等式是直角三角形的边角比。在三角函数中，使用六个基本三角函数。这些函数是三角函数。六个基本三角函数分别是正弦函数、余弦函数、正割函数、余割函数、正切函数和余切函数。直角三角形的边分别是垂直边、斜边和底边，用于根据公式计算正弦、余弦、正切、正割、余割和余切的值。

反三角函数

基本圆函数（三角函数）的反函数称为反三角函数。反三角函数与基本三角函数密切相关，作为学习主题。在数学中，反三角函数（也称为弧函数、反三角函数或反圆函数）是三角函数的反函数（相应定义的定义域是有限的）。反三角函数表示为：$\mathrm{\sin^{-1}\:,\:\cos^{-1}\:,\:\sec^{-1}\:,\:cosec^{-1}\:,\:\cot^{-1}\:,\:and\:\tan^{-1}}$ 反三角函数包含基本三角函数的所有表达式。

反三角函数的性质

基本性质有助于我们解决问题。一些重要的性质如下：

• 对于 x 的反函数，反三角函数将提供的反三角函数转换为其反函数。这来自循环函数，其中正弦和余割是倒数，正切和余切是倒数，因此余弦和正割是倒数。或者，反正弦、反余弦和反正切的反三角函数表达式通常写成：

$$\mathrm{\sin^{-1}\:=\:cosec^{-1}(\frac{1}{x})\:where\:x\:\varepsilon\:[-1\:,\:1]\:-\:\lbrace\:0\:\rbrace}$$

$$\mathrm{\cos^{-1}\:=\:\sec^{-1}(\frac{1}{x})\:where\:x\:\varepsilon\:[-1\:,\:1]\:-\:\lbrace\:0\:\rbrace}$$

$$\mathrm{\tan^{-1}(x)\:=\:\cot^{-1}(\frac{1}{x})\:if\:x>0\:(or)\:\cot^{-1}(\frac{1}{x})\:-\pi\:,\:if\:x<0}$$

$$\mathrm{\cot^{-1}(x)\:=\:\tan^{-1}(\frac{1}{x})\:if\:x>0\:(or)\:\tan^{-1}(\frac{1}{x})\:+\pi\:,\:if\:x<0}$$

• 所有六个三角函数都适用于任意值的反三角函数表达式。对于反三角函数的正弦、正切和余弦函数，负值转换为负值。此外，对于余割、正割和余切定理函数，负值

$$\mathrm{\sin^{-1}(-x)\:=\:-\sin^{-1}(x)}$$

$$\mathrm{\tan^{-1}(-x)\:=\:-\tan^{-1}(x)}$$

$$\mathrm{\cos^{-1}(-x)\:=\:\pi\:-\cos^{-1}(x)}$$

$$\mathrm{\sec^{-1}(-x)\:=\:\pi\:-\:\sec^{-1}(x)}$$

$$\mathrm{\cot^{-1}(-x)\:=\:-cosec^{-1}(x)}$$

$$\mathrm{cosec^{-1}(-x)\:=\:-cosec^{-1}(x)}$$

• $\mathrm{\sin^{-1}(\frac{1}{x})\:=\:cosec^{-1}(x)\:where\:x\geq\:1\:or\:x\leq\:-1}$

$\mathrm{\cos^{-1}(\frac{1}{x})\:=\:\sec^{-1}(x)\:where\:x\geq\:1\:or\:x\leq\:-1}$

$\mathrm{\tan^{-1}(\frac{1}{x})\:=\:-\pi\:+\:\cot^{-1}(x)}$

• $\mathrm{\sin^{-1}(\cos\theta)\:=\:\frac{\pi}{2}\:-\:\theta\:,\:if\:\theta\:\varepsilon\:[0\:,\:\pi]}$

$$\mathrm{\cos^{-1}(\sin\theta)\:=\:\frac{\pi}{2}\:-\:\theta\:,\:\varepsilon\:[-\frac{\pi}{2}\:,\:\frac{\pi}{2}]}$$

$\mathrm{cosec^{-1}(\sec\theta)\:=\:\frac{\pi}{2}\:-\:\theta\:\varepsilon\:[0\:,\:\pi]\:-\:(\frac{\pi}{2})}$

$\mathrm{\sec^{-1}(cosec\theta)\:=\:\frac{\pi}{2}\:-\:\theta\:if\:\theta\:\varepsilon\:[-\frac{\pi}{2}\:,\:0]\:\cup\:[0,\:\frac{\pi}{2}]}$

$\mathrm{\cot^{-1}(\tan\theta)\:=\:\frac{\pi}{2}\:-\:\theta\:if\:\theta\:\varepsilon\:[-\frac{\pi}{2}\:,\:\frac{\pi}{2}]}$

$\mathrm{\tan^{-1}(\cot\theta)\:=\:\frac{\pi}{2}\:-\:\theta\:if\:\theta\:\varepsilon\:[0\:,\:\pi]}$

• 通过添加互余的反三角函数可以得到直角。唯一的条件是 x 值在两个互余部分中必须相同，即反三角函数的互余函数之和将等于 $\mathrm{\frac{\pi}{2}}$

$$\mathrm{\sin^{-1}(x)\:+\:\cos^{-1}(x)\:=\:\frac{\pi}{2}}$$

$$\mathrm{\tan^{-1}(x)\:+\:\cot^{-1}(x)\:=\:\frac{\pi}{2}}$$

$$\mathrm{\sec^{-1}(x)\:+\:cosec^{-1}(x)\:=\:\frac{\pi}{2}}$$

• 使用给定公式计算反三角函数的和与差。然后，您将使用这些反三角函数表达式来计算双函数和三函数表达式。

$$\mathrm{\sin^{-1}(x)\:+\:\sin^{-1}(y)\:=\:\sin^{-1}[x\:\sqrt{1\:-\:y^{2}}\:+\:y\sqrt{1\:-\:x^{2}}]}$$

$$\mathrm{\cos^{-1}(x)\:+\:\cos^{-1}(y)\:=\:\cos^{-1}[xy\:-\:\sqrt{1\:-\:x^{2}}\sqrt{1\:-\:y^{2}}]}$$

上述公式已从反三角函数公式列表中编辑。此外，所有基本三角表达式都转换为反三角表达式，并分类为上述四个表达式的集合。随机值、倒数和互补函数、函数的和与差、双函数和三函数。

定义域和值域

在数学中，反三角函数（也称为弧函数、反三角函数或反圆函数）是反三角函数的反函数（相应定义的定义域是有限的）。反三角函数表示为：

$\mathrm{\sin^{-1}\:,\:\cos^{-1}\:,\:\sec^{-1}\:,\:cosec^{-1}\:,\:\cot^{-1}\:,\:and\:\tan^{-1}}$

序号	函数	值域	定义域
1	$\mathrm{y\:=\:\sin^{-1}(x)}$	$\mathrm{-\frac{\pi}{2}\:\leq\:y\:\leq\:\frac{\pi}{2}}$	$\mathrm{-1\:leq\:x\:\leq\:1}$
2	$\mathrm{y\:=\:\cos^{-1}(x)}$	$\mathrm{0\:\leq\:y\:\leq\:\pi}$	$\mathrm{-1\:leq\:x\:\leq\:1}$
3	$\mathrm{y\:=\:\tan^{-1}(x)}$	$\mathrm{-\frac{\pi}{2}\leq\:y\leq\:\frac{\pi}{2}}$	$\mathrm{x\varepsilon\:R}$
4	$\mathrm{y\:=\:\cot^{-1}(x)}$	$\mathrm{0\:<y\:<\pi}$	$\mathrm{x\:\varepsilon\:R}$
5	$\mathrm{y\:=\:cosec^{-1}(x)}$	$\mathrm{-\frac{\pi}{2}\leq\:y\leq\:\frac{\pi}{2}\:\:y\neq\:0}$	$\mathrm{x\:\leq\:-1\:or\:x\geq\:1}$
6	$\mathrm{y\:=\:\sec^{-1}(x)}$	$\mathrm{0\leq\:y\:\pi\:,\:y\neq\:\frac{\pi}{2}}$	$\mathrm{x\:\leq\:-1\:or\:x\geq\:1}$

导数

反三角函数通常表示为在三角前缀中添加弧或添加 -1 的幂，如下所示：

例如：

我们将使用 arcsin 的示例。您可以使用任何其他反函数。

• $\mathrm{f(x)\:=\:arc\sin(x)}$

通过在两边“撤消”函数来求解 x。

$$\mathrm{x\:=\:\sin(f(x))}$$

对两边关于 x 求导。

$$\mathrm{1\:=\:\cos(f(x))\:f^{'}(x)}$$

除以求解 $\mathrm{f^{'}(x)}$

$$\mathrm{\frac{1}{\cos(f(x))}\:=\:f^{'}(x)}$$

替换 f(x)：

$$\mathrm{\frac{1}{\cos(f(x))}}$$

这基本上是答案，但有些人喜欢用直角三角形技术进一步简化它

$$\mathrm{f^{'}(x)\:=\:\frac{1}{\sqrt{1\:-\:y^{2}}}\:=\:\frac{d}{dx}\sin^{-1}(x)}$$

• $\mathrm{f(x)\:=\:arc\tan(x)}$

通过在两边“撤消”函数来求解 x。

$$\mathrm{x\:=\:\tan(f(x))}$$

对两边关于 x 求导

$$\mathrm{1\:=\:\sec^{2}(f(x))f^{'}(x)}$$

$$\mathrm{f(x)\:=\:\frac{1}{\sec^{2}(f(x))}}$$

$$\mathrm{f^{'}(x)\:=\:\frac{1}{\sec^{2}(arc\:tan\:x)}}$$

$$\mathrm{f^{'}(x)\:=\:\frac{1}{1\:+\:x^{2}}\:=\:\frac{d}{dx}\tan^{-1}(x)}$$

反三角函数的导数如下：

函数	$\mathrm{导数\:(\frac{dy}{dx})}$
$\mathrm{y\:=\:\sin^{-1}(x)}$	$\mathrm{\frac{1}{\sqrt{1\:-\:x^{2}}}}$
$\mathrm{y\:=\:\cos^{-1}(x)}$	$\mathrm{-\frac{1}{\sqrt{1\:-\:x^{2}}}}$
$\mathrm{y\:=\:\tan^{-1}(x)}$	$\mathrm{\frac{1}{1\:+\:x^{2}}}$
$\mathrm{y\:=\:\cot^{-1}(x)}$	$\mathrm{-\:\frac{1}{1\:+\:x^{2}}}$
$\mathrm{y\:=\:cosec^{-1}(x)}$	$\mathrm{\frac{1}{\lvert\:x\rvert\:\sqrt{1\:-\:x^{2}}}}$
$\mathrm{y\:=\:\sec^{-1}(x)}$	$\mathrm{-\:\frac{1}{\lvert\:x\rvert\:\sqrt{1\:-\:x^{2}}}}$

例题

1) 求 $\mathrm{y\:=\:\tan^{-1}(x)}$ 的导数

答案：$\mathrm{y\:=\:\tan^{-1}(x)}$

通过在两边“撤消”函数来求解 x。

$$\mathrm{x\:=\:\tan(f(x))}$$

对两边关于 x 求导

$$\mathrm{1\:=\:\sec^{2}(f(x))f'(x)}$$

$$\mathrm{f'(x)\:=\:\frac{1}{\sec^{2}(f(x))}}$$

$$\mathrm{f'(x)\:=\:\frac{1}{\sec^{2}(arctanx)}}$$

这基本上是答案，但有些人喜欢用直角三角形技术进一步简化它：

$$\mathrm{f'(x)\:=\:\frac{1}{1\:+\:x^{2}}\:=\:\frac{d}{dx}\:tan^{-1}(x)}$$

2) 求 $\mathrm{y\:=\:\sin^{-1}(x)}$ 的导数

答案：$\mathrm{y\:=\:\sin^{-1}(x)}$

通过在两边“撤消”函数来求解 x。

$$\mathrm{x\:=\:\sin(f(x))}$$

对两边关于 x 求导。

$$\mathrm{1\:=\:\cos(f(x))f'(x)}$$

除以求解 𝑓′(𝑥)

$$\mathrm{\frac{1}{\cos(f(x))}\:=\:f'(x)}$$

替换 f(x)：

$$\mathrm{\frac{1}{\cos(arc\sin(x))}\:=\:f'(x)}$$

这基本上是答案，但有些人喜欢用直角三角形技术进一步简化它：

$$\mathrm{f'(x)\:=\:\frac{1}{\sqrt{1\:-\:x^{2}}}\:=\:\frac{d}{dx}\sin^{-1}(x)}$$

3) 如果 $\mathrm{\sec^{-1}(2)\:+\:cosec^{-1}(x)\:=\:\frac{\pi}{2}}$，则使用反三角函数的性质求 x 的值

答案：根据反三角函数的性质。

$$\mathrm{\sec^{-1}(x)\:+\:cosec^{-1}(x)\:=\:\frac{\pi}{2}}$$

给定方程为 $\mathrm{\sec^{-1}(x)\:+\:cosec^{1}(x)\:=\:\frac{\pi}{2}}$

现在比较这两个方程，得到 x 的值为 2。

4) 求 $\mathrm{\cos^{-1}(\frac{-1}{2})}$ 的主值

答案：设 $\mathrm{y\:=\:\cos^{-1}(\frac{-1}{2})}$

这可以写成：

$\mathrm{\cos\:y\:=\:\frac{-1}{2}}$

$\mathrm{\cos\:y\:=\:\cos(\frac{2\pi}{3})}$

因此，$\mathrm{\cos^{-1}}$ 的主值范围为 $\mathrm{[0\:,\:\pi]}$

因此，$\mathrm{\cos^{-1}(\frac{-1}{2})\:的主值为\:\frac{2\pi}{3}}$

结论

反三角函数（也称为弧函数、反三角函数或反圆函数）是反三角函数的反函数（相应定义的定义域是有限的）。反三角函数的性质基于函数的定义域和值域。

常见问题

1. 反三角函数是什么意思？

基本圆函数（三角函数）的反函数称为反三角函数。

2. 六个基本三角函数是什么？

这些函数是三角函数。六个基本三角函数是正弦函数、余弦函数、正割函数、余割函数、正切函数和余切函数。

3. 三角函数是什么意思？

三角函数和恒等式是直角三角形的边长比。在三角函数中使用了六个基本三角函数：正弦、余弦、正切、正割、余割和余切。这些函数是三角函数。

4. 反三角函数有什么用？

如果知道直角三角形的两条边的长度，则可以使用反三角函数求解未知角的度数。

5. $\mathrm{\sin^{-1}(x)\:和\:\cos^{-1}(x)}$ 的值域和定义域是什么？

$\mathrm{\sin^{-1}(x)\:的值域为\:\frac{-\pi}{2}\:\leq\:y\:\leq\:\frac{\pi}{2}}$

$\mathrm{\cos^{-1}(x)\:的值域为\:0\:\leq\:y\:\leq\:\pi}$

$\mathrm{\sin^{-1}(x)\:的定义域为\:-1\:\leq\:x\:\leq\:1}$

$\mathrm{\cos^{-1}(x)\:的定义域为\:-1\leq\:x\:\leq\:1}$