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引言
图同态是图论和计算科学中的一个重要概念。在C语言环境下，图同态是两个图之间的一种映射，它保持它们顶点之间的邻接关系。它通常表示为一个函数，该函数将一个图的顶点映射到另一个图的顶点，同时保持它们之间的边。这个概念允许考虑和分析不同图之间的基本相似性和关系。通过在C语言中实现图同态，开发人员可以探索各种应用，例如图匹配、图着色和图同构测试，从而促进图论和相关计算任务的发展。
方法一：回溯算法
步骤1 − 初始化一个空的映射数组。
步骤2 − 从第一个图的第一个顶点开始。
步骤3 − 对于第二个图中的每个顶点，检查它是否可以映射到当前顶点。
步骤4 − 如果找到有效的映射，则将其添加到映射数组中，并递归地继续下一个顶点。
步骤5 − 如果映射不可行，则回溯并尝试另一个可能的映射。
步骤6 − 重复步骤3-5，直到所有顶点都被映射或没有找到有效的映射。
示例
#include <stdbool.h>
#include <stdio.h>
#define MAX_VERTICES 100
// Function to check if a mapping preserves adjacency relationships
bool isHomomorphism(int graph1[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int graph2[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int mapping[], int n, int v, int u) {
for (int i = 0; i < v; i++) {
if (graph1[v][i] && graph2[u][mapping[i]] == 0) {
return false;
}
}
return true;
}
// Backtracking approach to find graph homomorphism
bool findHomomorphismUtil(int graph1[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int graph2[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int mapping[], int n, int v) {
if (v == n) {
return true; // All vertices mapped
}
for (int u = 0; u < n; u++) {
if (isHomomorphism(graph1, graph2, mapping, n, v, u)) {
mapping[v] = u; // Add mapping
if (findHomomorphismUtil(graph1, graph2, mapping, n, v + 1)) {
return true;
}
mapping[v] = -1; // Remove mapping (backtrack)
}
}
return false;
}
bool findHomomorphism(int graph1[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int graph2[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int n) {
int mapping[MAX_VERTICES];
// Initialize mapping with -1
for (int i = 0; i < n; i++) {
mapping[i] = -1;
}
return findHomomorphismUtil(graph1, graph2, mapping, n, 0);
}
int main() {
// Example graphs (adjacency matrices)
int graph1[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES] = {
{0, 1, 0},
{1, 0, 1},
{0, 1, 0}
};
int graph2[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES] = {
{0, 1, 1},
{1, 0, 0},
{1, 0, 0}
};
int n = 3; // Number of vertices
if (findHomomorphism(graph1, graph2, n)) {
printf("A graph homomorphism exists.\n");
} else {
printf("No graph homomorphism exists.\n");
}
return 0;
}
输出
A graph homomorphism exists.
方法二：约束满足问题 (CSP) 算法
步骤1 − 为第二个图中的每个顶点创建一个域，最初包含第一个图的所有顶点。
步骤2 − 迭代第一个图中的每个顶点，并从第二个图中相应顶点的域中分配一个值，同时满足邻接约束。
步骤3 − 如果所有顶点都被赋值，则返回真。否则，回溯并尝试下一个可能的赋值。
步骤4 − 重复步骤2-3，直到找到有效的赋值或所有可能的赋值都被耗尽。
示例
#include <stdbool.h>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_VERTICES 100
// Function to check if a mapping preserves adjacency relationships
bool isHomomorphism(int graph1[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int graph2[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int mapping[], int n, int v, int u) {
for (int i = 0; i < v; i++) {
if (graph1[v][i] && graph2[u][mapping[i]] == 0) {
return false;
}
}
return true;
}
// CSP-based approach to find graph homomorphism
bool findHomomorphismUtil(int graph1[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int graph2[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int mapping[], bool domain[][MAX_VERTICES], int n, int v) {
if (v == n) {
return true; // All vertices assigned values
}
for (int u = 0; u < n; u++) {
if (domain[v][u] && isHomomorphism(graph1, graph2, mapping, n, v, u)) {
mapping[v] = u; // Assign value
bool newDomain[n][MAX_VERTICES];
memcpy(newDomain, domain, sizeof(bool) * n * MAX_VERTICES);
// Update domain for adjacent vertices
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (graph1[v][i]) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
newDomain[i][j] = newDomain[i][j] && (j == u);
}
}
}
if (findHomomorphismUtil(graph1, graph2, mapping, newDomain, n, v + 1)) {
return true;
}
}
}
return false;
}
bool findHomomorphism(int graph1[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int graph2[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES], int n) {
int mapping[MAX_VERTICES];
bool domain[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES];
// Initialize mapping with -1 and domain with true
for (int i = 0; i < n; i++) {
mapping[i] = -1;
for (int j = 0; j < n; j++) {
domain[i][j] = true;
}
}
return findHomomorphismUtil(graph1, graph2, mapping, domain, n, 0);
}
int main() {
// Example graphs (adjacency matrices)
int graph1[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES] = {
{0, 1, 0},
{1, 0, 1},
{0, 1, 0}
};
int graph2[MAX_VERTICES][MAX_VERTICES] = {
{0, 1, 1},
{1, 0, 0},
{1, 0, 0}
};
int n = 3; // Number of vertices
if (findHomomorphism(graph1, graph2, n)) {
printf("A graph homomorphism exists.\n");
} else {
printf("No graph homomorphism exists.\n");
}
return 0;
}
输出
No graph homomorphism exists.
结论
总之，图同态是图论和计算数学中的一个重要概念。在C语言中实现它允许分析不同图之间的基本相似性和关系。我们探讨了两种寻找图同态的方法：回溯法和约束满足问题 (CSP)。这些算法能够识别保持顶点之间邻接关系的映射。对于实际应用，进一步的优化或替代算法值得考虑。
更新于：2023年8月25日
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