使用一阶导数检验求最大值和最小值

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简介

通常，各种物理实体都用包含多个变量的数学方程式表示。函数可以在过程中表示变量的性质。可以在变量和所需响应之间以图形方式呈现函数。但是，大多数情况下，我们需要找到函数给出最大值和最小值的特定点。在这个方向上，发现微积分的基本概念——导数检验非常有帮助。在本教程中，我们将学习导数、其在优化中的应用以及使用一阶和二阶导数确定函数的最大值和最小值，并提供已解决的示例。

导数

• 导数是微积分中的一个基本概念。

• 它被定义为一个变量相对于另一个变量的变化率。

• 此外，它也指的是曲线上切线的斜率。

• 确定函数导数的过程称为微分。

• 导数的逆过程称为积分或反微分。

• 任意函数 (f(x)) 的微分表示为 $\mathrm{\mathit{f}^Ι (x)\: or\: \frac{d\mathit{f}}{dx}}$。

• 有各种公式可以确定各种代数、三角、对数和指数函数的导数。

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导数在优化中的应用

导数概念在数学、物理、工程和金融等领域有着广泛的应用。其中，过程优化是工业工程中的一门重要学科，导数在其中发挥着至关重要的作用。让我们讨论一些现实生活中的例子。

• 制造业在财政年度销售特定单位的产品。为了最大化利润，必须找到要销售产品的最佳单位。在这个方向上，导数有助于确定函数的最大值。

• 在流体泵送过程中，始终希望获得最小的压降以降低能量成本。

• 需要优化材料量以获得所需的容器尺寸。

寻找函数的最大值和最小值

在数学中，函数的最大值和最小值表示函数在给定范围内最高（最大）和最低（最小）的值。可以使用一阶和二阶导数检验来确定这两个极值点。

一阶导数检验

这是一种简单的方法，它涉及到临界点来确定局部最大值和最小值。让我们考虑一个任意函数 $\mathrm{\mathit{f}(x)}$，其中 c 是一个临界点，在该点函数是连续的。现在，我们必须遵循以下步骤来找到函数的最大值和最小值。

• 计算给定函数 $\mathrm{\mathrm{(\mathit{f}(x)}), 即 \mathit{f}^Ι (x) }$ 的一阶导数。

• 在第二步中，将函数的导数等于零，即 $\mathrm{\mathit{f}^Ι (x)=0 }$，并求解该方程以获得极限点。

• 找到获得的极限点的邻近点。

• 将这些邻近点代入一阶导数函数，即 $\mathrm{\mathit{f}^Ι (x)}$。

• 如果 $\mathrm{\mathit{f}^Ι (x)>0}$ 位于其左侧，而 $\mathrm{\mathit{f}^Ι (x) < 0}$ 位于其右侧，则称极限点为最大值。

• 如果 $\mathrm{\mathit{f}^Ι (x) < 0}$ 位于其左侧，而 $\mathrm{\mathit{f}^Ι (x)>0}$ 位于其右侧，则称极限点为最小值。

二阶导数检验

二阶导数检验是一种系统的方法，用于找到函数的最大值和最小值。让我们讨论使用二阶导数检验评估函数的局部最大值和最小值的过程。

• 计算给定函数 $\mathrm{\mathrm{(\mathit{f}(x)}), 即 \mathit{f}^Ι (x) }$ 的一阶导数。

• 在第二步中，将函数的导数等于零，即 $\mathrm{\mathit{f}^{Ι} (x) = 0}$，并求解该方程以获得极限点，例如 x₁、x₂ 等。

• 现在，确定原始函数 $\mathrm{\mathit{f}^{ΙΙ} (x)}$ 的二阶导数。

• 现在将这些极限点代入 $\mathrm{\mathit{f}^{ΙΙ} (x)}$。

• 如果 $\mathrm{\mathit{f}^{ΙΙ} (x) < 0}$，则称极限点 x_1 为局部最大值。

• 如果 $\mathrm{\mathit{f}^{ΙΙ} (x) > 0}$，则称极限点 x_1 为局部最小值。

已解决的示例

示例 1

让我们考虑一个函数 f(x)=x³-3x+2。使用一阶导数检验求函数的最大值和最小值。

解决方案

我们将使用以下步骤来找到函数的最大值和最小值。

• 步骤 1：已知 f(x)=x³-3x+2。

  则 f^Ι(x)=3x²-3。

• 取 f^Ι(x)=0

  $\mathrm{\Rightarrow 3x^2-3=0}$

  $\mathrm{\Rightarrow 3(x^2-1)=0}$

  $\mathrm{\Rightarrow 3(x+1)(x-1)=0}$

  ⇒x=-1,1 （极限点）

• (-1,1) 的邻近点是 (-2, 0) 和 (0, 2)。

• $\mathrm{\mathit{f}^Ι (-2)=3(-2)^2-3=9,\mathit{f}^Ι (0)=3(0)^2-3=-3}$

• 极限点 (-2, 0) 被称为局部最大值，因为如果 $\mathrm{\mathit{f}^{Ι} (x) < 0}$ 位于其左侧，而 $\mathrm{\mathit{f}^{Ι} (x) > 0}$ 位于其右侧。

• $\mathrm{\mathit{f}^Ι (0)=3(0)^2-3=-3,\mathit{f}^Ι (2)=3(2)^2-3=9}$

• 极限点 (0, 2) 被称为最小值，因为 $\mathrm{\mathit{f}^{Ι} (x) < 0}$ 位于其左侧，而 $\mathrm{\mathit{f}^{Ι} (x) > 0}$ 位于其右侧。

∴ 函数的局部最大值和最小值分别为 (-1) 和 (1)。

示例 2

让我们考虑一个函数 f(x)=5x³+4x²+x+7。使用二阶导数检验求函数的最大值和最小值。

解决方案

我们将使用以下步骤来找到函数的最大值和最小值。

• 步骤 1 − 已知 f(x)=5x³+4x²+x+7。

  $\mathrm{Then \: \mathit{f}^Ι (x)=15x^2+8x+1.}$

• $$\mathrm{Take\: \mathit{f}^Ι(x)=15x^2+8x+1=0 }$

$\mathrm{\Rightarrow 15x^2+5x+3x+1=0}$

$\mathrm{\Rightarrow 5x(3x+1)+1(3x+1)=0}$

$\mathrm{\Rightarrow (3x+1)(5x+1)=0}$

$\mathrm{\Rightarrow x=\frac{-1}{3},\frac{-1}{5} (极限点)}$$

• $$\mathrm{\mathit{f}^{ΙΙ} (x)=30x+8.}$

• 现在我们将把极限点代入 $\mathrm{\mathit{f}^{ΙΙ}(x)}$。

• $\mathrm{\mathit{f}^{ΙΙ}(\frac{-1}{3})=30(\frac{-1}{3})+8=-2 < 0}$

  极限点 $\mathrm{\frac{-1}{3}}$ 被称为局部最大值，因为 $\mathrm{\mathit{f}^{ΙΙ}(\frac{-1}{3})< 0}$

• $\mathrm{\mathit{f}^{ΙΙ}(\frac{-1}{5})=30(\frac{-1}{5})+8=2 < 0}$

  极限点 $\mathrm{\frac{-1}{5}}$ 被称为局部最小值，因为 $\mathrm{\mathit{f}^{ΙΙ}(\frac{-1}{5})> 0}$

∴ 函数的局部最大值和最小值分别为 $\mathrm{(\frac{-1}{3})}$ 和 $\mathrm{(\frac{-1}{5})}$。

结论

本教程简要介绍了函数的最大值和最小值。本教程说明了局部极值点（最大值和最小值）和导数的基本定义。此外，还说明了使用一阶导数和二阶导数检验确定最大值和最小值的过程。此外，还提供了一些已解决的示例，以更好地阐明此概念。总之，本教程可能有助于理解最大值和最小值的概念以及使用一阶和二阶导数检验对其进行评估。

常见问题解答

1.举一个没有最小值和最大值的函数的例子？

实数集没有最大值和最小值。

2.哪种方法更有效地确定函数的最小值和最大值？

一阶导数检验是寻找函数的最小值和最大值的有效方法。因为如果函数不存在二阶导数，则二阶导数检验将失败。在这种情况下，我们只需要使用一阶导数检验来评估极值点。

3.为什么一阶导数检验会失败？

如果获得的极限点不是局部最大值或最小值，则一阶导数检验将失败。

4.导数有哪些应用？

导数概念有助于找到图形的凹凸性、拐点、局部最大值和最小值。

5.如何定义临界点？

如果点 (c) 是函数 $\mathrm{\mathit{f}(x)\mathit{f}^Ι(c)=0\: or \: \mathit{f}^Ι(x)}$ 的临界点，则该点不存在。