Python中的卡诺循环建模

卡诺循环是最基本的燃气动力循环。它是任何发动机循环的基准。每个发动机循环效率都以卡诺循环作为检验标准。如果发明者开发了一个新的发动机循环，则必须针对基准（即卡诺循环）进行验证。

所有热力学循环都具有卡诺循环所确定的上限。它包含两个可逆绝热过程和两个等温过程，总共四个过程。等温过程涉及热量的添加和排放，而可逆绝热过程涉及功的相互作用。下图显示了卡诺循环的示意图。

热量排放和添加在步骤1-2和3-4中等温进行。而过程4-1和2-3是可逆绝热过程，分别通过功从循环中输入和输出。

在对循环进行建模时，需要考虑最大压力（$\mathrm{p_{max}}$）、最小压力（$\mathrm{p_{min}}$）、最大体积（$\mathrm{V_{max}}$）、压缩比（𝑟）和绝热指数（𝛾）等输入变量。下面解释了几个过程的热力学计算。

过程 1-2：（等温过程）

过程 1-2 是一个等温过程。这里，

$$\mathrm{p_{1}\:=\:p_{min}}$$

$$\mathrm{v_{1}\:=\:v_{max}}$$

使用压缩比 (r)，可以根据点 1 处的体积评估点 2 处的第一个体积，如下所示：

$$\mathrm{v_{2}\:=\:\frac{v_{1}}{r}}$$

然后计算步骤 1-2 期间的等温常数，如下所示：

$$\mathrm{c_{1}\:=\:p_{1}\:\times\:v_{1}}$$

一旦知道 $\mathrm{c_{1}}$，就可以评估沿线 1-2 的压力变化，如下所示：

$$\mathrm{p\:=\:\frac{c_{1}}{v}}$$

过程 2-3（可逆绝热过程）

过程 2-3 是一个可逆绝热过程。这里，

$$\mathrm{p_{3}\:=\:p_{max}}$$

设 $\mathrm{c_{2}}$ 为绝热线的常数。由于绝热线和等温线在点 2 相交，因此可以计算 $\mathrm{c_{2}}$ 为

$$\mathrm{p_{2}\:=\:\frac{c_{2}}{v_{2}^{\gamma}}\:=\:\frac{c_{1}}{v_{2}}}$$

$$\mathrm{c_{2}\:=\:c_{1}\:\times\:v_{2}^{\gamma\:-\:1}}$$

由于 $\mathrm{c_{2}}$ 也满足点 3，因此可以计算点 3 处的体积，如下所示：

$$\mathrm{v_{3}\:=\:\left ( \frac{c_{2}}{p_{3}} \right )^{\frac{1}{\gamma }}}$$

可以评估沿 2-3 的压力变化，如下所示：

$$\mathrm{p\:=\:\frac{c_{2}}{v^{\gamma}}}$$

过程 3-4（等温过程）

设线 3-4 的常数为 $\mathrm{c_{3}}$。由于 $\mathrm{p_{3}}$ 和 $\mathrm{v_{3}}$ 都已知，并且点 3 也穿过它们，因此沿等温线的常数计算如下：

$$\mathrm{c_{3}\:=\:p_{3}\:\times\:v_{3}}$$

此外，为了评估沿 3-4 的压力波动，需要知道沿 4-1 的常数。假设它是 $\mathrm{c_{4}}$，并且由于 $\mathrm{c_{4}}$ 也满足点 1，因此评估如下：

$$\mathrm{c_{4}\:=\:p_{1}\:\times\:v_{1}^{\gamma}}$$

因此，可以评估 $\mathrm{v_{4}}$ 为：

$$\mathrm{v_{4}\:=\:\left ( \frac{c_{4}}{c_{3}} \right )^{\frac{1}{\gamma\:-\:1 }}}$$

因此，可以评估沿 3-4 的压力变化为：

$$\mathrm{p\:=\:\frac{c_{3}}{v}}$$

过程 4-1（可逆绝热）

已知 $\mathrm{c_{4}}$ 和 1 和 4 处的体积，可以计算沿 4-1 的压力变化，如下所示：

$$\mathrm{p\:=\:\frac{c_{4}}{v^{\gamma}}}$$

用于模拟卡诺循环的 Python 代码

用于模拟卡诺循环的 Python 函数如下所示：

from pylab import *
from pandas import *

# Carnot Cycle
def carnot(p_min,p_max,v_max,r,gma):
   font = {'family':'Times New Roman', 'size':16}
   figure(figsize=(7.50,5.50))
   rc('font', **font)
   '''This function prints the carnot cycle
   The arguments are as follows:
   p_min: minimum pressure
   p_max: Maximum pressure
   v_max: Maximum volume
   r: compression ratio
   gma: Adiabatic exponent
   The order of arguments is: p_min,p_max,v_max,r,gma'''
   p1=p_min
   v1=v_max
   v2=v1/r
   c1=p1*v1
   
   # Process 1-2
   v=linspace(v2,v1,100)
   p=c1/v
   plot(v,p/1000,'r-',linewidth=3)
   p2=c1/v2
   
   # Process 2-3
   p3=p_max
   c2=c1*v2**(gma-1.)
   v3=(c2/p3)**(1/gma)
   v=linspace(v3,v2,100)
   p=c2/v**gma
   plot(v,p/1000,'b',linewidth=3)
   
   # Process 3-4
   c3=p3*v3
   c4=p1*v1**gma
   v4=(c4/c3)**(1/(gma-1.))
   v=linspace(v3,v4,100)
   p=c3/v
   plot(v,p/1000,'g',linewidth=3)
   p4=c3/v4

   # Process 4-1
   v=linspace(v4,v1,100)
   p=c4/v**gma
   plot(v,p/1000,'c',linewidth=3)
   title('Carnot Cycle',size='large',color='k')
   xlabel('Volume ($m^3$)')
   ylabel('Pressure (kPa)')
   grid(linestyle='--', color='k')
   axis([0.,v_max+0.01,1*10**5/10**3,21*10**5/10**3])
   text(v1,p1/1000,'1')
   text(v2,p2/1000-200,'2')
   text(v3+0.01,p3/1000-20,'3')
   text(v4,p4/1000,'4')
   data={
      'p':[p1,p2,p3,p4],
      'v':[v1,v2,v3,v4],
      'c':[c1,c2,c3,c4],
      'State': [1,2,3,4]
   }
   df=DataFrame(data)
   savefig('Carnot_final.jpg')
   return df.set_index('State')
carnot(2*10**5,20*10**5,0.5,5,1.4)
show()

对于 $\mathrm{p_{min}\:=\:2\:\times\:10^{5}\:Pa}$，$\mathrm{p_{max}\:=\:20\:\times\:10^{5}\:Pa}$，$\mathrm{v_{max}\:=\:0.5\:m^{3}}$，$\mathrm{r\:=\:5}$ 和 $\mathrm{\gamma\:=\:1.4}$，获得的结果如下图所示：

不同状态点的压力、体积值如下所示：

结论

在本教程中，已经介绍了模拟卡诺循环的方法。已经介绍了一个 Python 函数，并进行了一个测试用例来演示函数的使用。该函数能够根据输入数据绘制循环。

潘卡杰·杜姆卡博士

更新于：2023年2月27日

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