Python 中的 Regula Falsi 方法建模

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在本教程中，我将向您展示如何借助 Regula Falsi 方法（也称为“假位置法”）找到方程的根。让我们考虑下图所示。

首先，我们搜索了两个 𝑥 值 $\mathrm{x_{1}}$ 和 $\mathrm{x_{2}}$，在这些值处函数的值 ($\mathrm{y_{1}} $和 $\mathrm{y_{2}}$) 不同，这意味着这些点应该使得这两个值的乘积为负（即，它们应该位于 X 轴的两侧）。由于这些不是精确点，即根存在的点，因此它们被视为假点，因此称为 Regula Falsi 方法。现在，这些点将由一条线连接，该线将在 $\mathrm{x_{n}}$ 点与 x 轴相交。现在，对应于此将计算 $y_{n}$。

如果 $\mathrm{y_{1}}$ 和 $\mathrm{y_{n}}$ 的乘积小于 0，则表示 $\mathrm{x_{1}}$ 和 $\mathrm{x_{n}}$ 位于根的两侧。然后，$\mathrm{x_{2}}$ 将被 $\mathrm{x_{n}}$ 替换，$\mathrm{y_{2}}$ 将被 $\mathrm{y_{1}}$ 替换。否则，它将表明 $\mathrm{x_{1}}$ 和 $\mathrm{x_{𝑛}}$ 位于同一侧，然后 $\mathrm{x_{1}}$ 将被 $\mathrm{x_{n}}$ 替换，$\mathrm{y_{1}}$ 将被 $\mathrm{y_{n}}$ 替换。此后，将重复相同的过程，直到 $y_{n}$ 的绝对值小于某个收敛准则（这里我们将其设置为 0.00001，但您可以根据所需的精度自由选择）。

现在问题是如何计算新的位置 $\mathrm{x_{n}}$。新的位置可以通过经过 ($x_{1},y_{1}$) 和 ($x_{2},y_{2}$) 的直线方程得到，如下所示 -

$$\mathrm{y-y_{1}=\tfrac{\left \{ y_{2}-y_{1} \right \}}{\left \{ x_{2}-x_{1} \right \}}(x-x_{1})}$$

但在 $\mathrm{x_{n}}$ 处，𝑦 截距为零，则上述方程变为

$$\mathrm{0-y_{1}=\tfrac{\left \{ y_{2}-y_{1} \right \}}{\left \{ x_{2}-x_{1} \right \}}(x_{n}-x_{1})}$$

$$\mathrm{0-\tfrac{\left \{ x_{2}-x_{1} \right \}}{\left \{ y_{2}-y_{1} \right \}}y_{_{1}}=(x_{n}-x_{1})}$$

$$\mathrm{x_{1}-\tfrac{\left \{ x_{2}-x_{1} \right \}}{\left \{ y_{2}-y_{1} \right \}}y_{_{1}}=x_{n}}$$

最终，用于计算新 𝑥 值 ($x_{n}$) 的方程变为 -

$$\mathrm{x_{n}=x_{1}-\tfrac{\left \{ x_{2}-x_{1} \right \}}{\left \{ y_{2}-y_{1} \right \}}y_{_{1}}}$$

Python 中 Regula Falsi 方法的实现

我们试图使用 Regula Falsi 方法找到其根的函数是 $\mathrm{𝑥^{3}}$−9𝑥−5=0。初始区间选择为 (−3,−1)。

导入用于数组使用和数据绘图的模块 -

from pylab import *

定义要计算其根的多项式的函数 -

f=lambda x: x**3-9*x-5

此步骤虽然不是严格必要的，但它将有助于可视化 Regula Falsi 过程的工作原理。这段代码将有助于绘制函数 -

# Creating array of x
x=linspace(-4,4,50)

# Drawing function
figure(1,dpi=200)
plot(x,f(x))
ylim(-19,10)
plot([-4,4],[0,0],'k--')

选择您期望根存在的初始区间。我所取的值是上面提到的多项式。

# Selecting false positions x1 and x2
x1=-3
x2=-1

# Evaluating corresponding y1 and y2
y1=f(x1)
y2=f(x2)

检查初始猜测区间 ($\mathrm{𝑥_{1},𝑥_{2}}$) 是否正确，即 $\mathrm{𝑦_{1}x𝑦_{2}}$>0。

如果不是，则使用适当的消息退出循环。否则，进入 while 循环。在 while 循环内，首先根据公式 1 计算 $\mathrm{𝑥_{𝑛}}$ 并找到 $\mathrm{𝑦_{ℎ}}$。

如果 $\mathrm{𝑦_{1}}$ 的绝对值本身很小，则使用最终答案 $\mathrm{𝑥_{1}}$ 中断 while 循环。否则，检查 $\mathrm{y_{1}\:X\:y_{n}s0}$ 是否为真，如果是，则设置 $\mathrm{x_{2}=x_{n}}$ 和 $\mathrm{𝑦_{2}=𝑦_{𝑛}}$。否则，设置 $\mathrm{𝑥_{1}=𝑥_{𝑛}}$ 和 $\mathrm{𝑦_{1}=𝑦_{𝑛}}$。

# Initial check
if y1*y2>0:
   print("on the same side of x axis, Correct the Range")
   exit
else:
   # Plotting line joining (x1,y1) and (x2,y2)
   plot([x1,x2],[y1,y2])
   
   # Iteration counter
   count=1
   
   # Iterations
   while True:
      xn=x1-y1*(x2-x1)/(y2-y1)
      plot([xn],[0],'o',label=f'{xn}')
      yn=f(xn)
      if abs(y1)<1.E-5:
         print("Root= ",x1)
         break
      elif y1*yn<0:
         x2=xn
         y2=yn
         plot([x1,x2],[y1,y2])
      else:
         x1=xn
         y1=yn
         plot([x1,x2],[y1,y2])
         
      # printing few xn in legend
      if count<6:
         legend()
         
      # Increasing iteration counter
      count +=1
   show()

程序的 输出 将是 -

Root= -2.669663840642225

函数图本身显示了对根的收敛，如下所示。

完整的 Python 代码

最终编译后的代码如下 -

# Importing modules for plotting and Array
from pylab import *

# Defining function using Lambda
f = lambda x: x ** 3 - 9 * x - 5

# Creating array of x using linspace
x = linspace(-4, 4, 50)

# Drawing function for better understanding of convergence
figure(1, figsize=(7.20,3.50))
plot(x, f(x))
ylim(-19, 10)
plot([-4, 4], [0, 0], 'k--')

# Selecting false position interval x1 and x2
x1 = -3
x2 = -1

# Evaluating the values at x1 and x2 viz. y1 and y2
y1 = f(x1)
y2 = f(x2)

# Initial check for gussed interval
if y1 * y2 > 0:
   print("on the same side of x axis, Correct the Range")
   exit
else:
   # Plotting line joining (x1,y1) and (x2,y2)
   plot([x1, x2], [y1, y2])

   # Iteration counter
   count = 1

   # Iterations
   while True:
      xn = x1 - y1 * (x2 - x1) / (y2 - y1)
      plot([xn], [0], 'o', label=f'{xn}')
      yn = f(xn)
      if abs(y1) < 1.E-5:
         print("Root= ", x1)
         break
      elif y1 * yn < 0:
         x2 = xn
         y2 = yn
         plot([x1, x2], [y1, y2])
      else:
         x1 = xn
         y1 = yn
         plot([x1, x2], [y1, y2])

      # printing few xn
      if count < 6:
         legend()
      # Incrementing counter
      count += 1
   show()

对于其他根，我们必须采用其他初始集合的 $\mathrm{x_{1}}$ 和 $\mathrm{x_{2}}$。您可以练习 (-1, 1) 和 (2, 4)。

结论

在本教程中，您学习了如何在 Python 中建模 Regula Falsi 方法。您还了解了初始猜测区间的选择有多么重要。