Python 中的割线法建模

割线法是用于求解多项式或任何超越函数的 x 截距（零点）的强大方法之一。在这种方法中，我们首先选择（基本上是猜测）我们期望根所在的区间（$\mathrm{𝑥_{1}}$，$\mathrm{𝑥_{2}}$）。然后，我们绘制一条割线以连接对应于猜测值的函数上的点（A，B），如下图所示。

割线与 x 轴相交于点 $\mathrm{𝑥_{3}}$，由于 $\mathrm{𝑥_{3}}$ 和 $\mathrm{𝑥_{2}}$ 不接近（即它们的绝对差是有限的），我们找到对应于 $\mathrm{𝑥_{3}}$ 曲线上的点，即 C。然后，我们考虑点 B 和 C 连接一条割线。我们将这条线延伸到到达 X 轴，并将该点标记为 $\mathrm{𝑥_{4}}$。

现在，我们再次检查 $\mathrm{𝑥_{3}}$ 和 $\mathrm{𝑥_{4}}$ 是否接近。由于它们也不接近，因此我们找到对应于 $\mathrm{𝑥_{4}}$ 的多项式的值，并在曲线上将其标记为 D。下图表示第二条割线和点 D。

然后，我们再次在 C 和 D 之间绘制一条割线，直到“x”的下一个值和前一个值的距离收敛到一个非常小的值。因此，我们可以说该方法依次找到多项式的根，即它可以被认为是根的顺序搜索。这种方法的优点在于，x 是否位于根的一侧或围绕根并不重要。该方法通过上述解释的顺序搜索逐渐收敛到根。

现在，任务是根据前两个 x 来评估下一个 x。如果我们考虑第一条割线，那么通过它们（以评估 $\mathrm{𝑥_{3}}$）的直线方程如下：

$$\mathrm{x_{3}=x_{1}-y_{1}\frac{x_{2}-x_{1}}{y_{2}-y_{1}}}$$

而如果我们考虑第二条割线，则用于评估的直线方程如下：

$$\mathrm{x_{4}=x_{2}-y_{2}\frac{x_{3}-x_{2}}{y_{3}-y_{2}}}$$

因此，上述方程的广义版本如下：

$$\mathrm{x_{i}=x_{i-2}-y_{i-2}\frac{x_{i-1}-x_{i-2}}{y_{i-1}-y_{i-2}}}$$

Python 中的割线法实现

可以使用以下算法对割线法进行建模：

首先需要定义需要求根的函数 f(x)
选择两个任意 x 值，即 ($\mathrm{𝑥_{1}}$，$\mathrm{𝑥_{2}}$)
使用以下公式评估 x 的新值 $$\mathrm{x_{n}=x_{1}-f(x_{1})\frac{x_{2}-x_{1}}{f(x_{2})-f(x_{1})}}$$
如果 x 的新值和前一个值接近，则得到答案，即如果 $|x_{n_{}}-x2|<10^{-5}$，则 $𝑥_{𝑛}$ 是根。注意，我们取收敛准则为 $10^{-5}$，但您可以根据您的需要进行设置。
如果 $|x_{n_{}}-x2|>10^{-5}$，则设置：$𝑥_{1}$=$𝑥_{2}$ 和 $𝑥_{2}$=$𝑥_{𝑛}$
然后再次从评估新 x 的步骤开始。

然后再次从评估新 x 的步骤开始。

假设我们想要找到方程：$𝑥^{2}$+3𝑥−10=0 的根。让我们选择初始值为 ($𝑥_{1}$=−4,$𝑥_{2}$= 3)。然后执行割线法的 Python 程序如下：

# Importing module
from pylab import *

# Defining Polynomial function
def f(x):
   return x ** 2 + 3 * x - 10

# Defining function for new value of x
def fn(a, b):
   return a - ((b - a) / (f(b) - f(a))) * f(a)

# Creating array of x
x = linspace(-15, 15, 150)

# Plotting the function
figure(1, figsize=(7.20, 3.50))
plot(x, f(x), linewidth=2)
plot([-25, 25], [0, 0], "k--")
ylim(-15, 20)
xlim(-8, 6)

# Initial guess Interval
x1 = -4
x2 = 3

# Initial Error to enter into the loop
error = 1

# Setting iteration counter
count = 1

# Integration starts
while error > 1.E-3:

   # Plotting Secant line
   plot([x1, x2], [f(x1), f(x2)])

   # Evaluating new value of x based on old
   xn = fn(x1, x2)

   # Plotting x intercept of secant
   plot([xn], [0], 'o', label=f'{xn}')

   # Evaluating error
   error = abs(x2 - xn)

   # Setting x's for next iteration
   x1 = x2
   x2 = xn

   # Incrementing loop counter
   count += 1

   # Printing selected value of xn in the legend
   if count < 6:
      legend()

# Showing root in the figure (just decoration)
text(-7, -10, f'Root = {round(xn, 3)}', bbox={'facecolor': 'red', 'alpha': 0.5, 'pad': 10})
print(f'Root = {round(xn, 3)}')
show()

上述代码清楚地说明了本节开头提到的所有步骤。上述程序的输出将如以下图所示。