多元微积分

介绍

在工程领域，我们经常遇到各种系统，其中过程依赖于多个变量。
在这种情况下，系统的优化和设计需要涉及多个变量。
在这个方向上，多元微积分发挥着重要作用。它有着广泛的应用，从经济学到科学领域。
在本教程中，我们将学习多元微积分及其各种运算（例如**极限、连续性、偏导数**和**积分**），并通过已解决的示例进行说明。

什么是多元微积分

多元微积分是微积分的一个扩展主题，包括多变量函数。
所有微积分运算都针对多个变量而不是单个变量进行。
它也被认为是高等微积分的基础部分。
- 它被广泛用于设计和优化动态系统。此外，它还应用于金融和工程中的回归分析。

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多变量函数的极限和连续性

极限

我们知道，单变量函数的极限定义为当变量 y 接近 b 时，函数 g(y) 接近值 P。数学上，它可以表示为 $\mathrm{\displaystyle \lim \limits_{y \rightarrow b}g(y)=P}$
类似地，对于多个变量，极限定义为当变量 x、y 接近 (x₀,y₀) 时，函数 g(y) 接近值 P。数学上，它可以表示为 $\mathrm{\displaystyle \lim \limits_{x,y \rightarrow x_0,y_0}g(y)=P}$ 。

连续性

连续性是微积分的一个基本概念。
它被定义为函数，使得自变量的连续变化导致函数值的连续变化。
多变量函数的连续性可以类似于单变量函数来表示。

数学上，一个函数 (g(y)) 被认为是连续的，当且仅当它满足以下条件。

函数 g(y) 可以被定义。
如果 $\mathrm{\displaystyle \lim \limits_{x,y \rightarrow x_0,y_0}g(y)=g(x_0,y_0)}$ ，则函数 g(y) 在 (x₀,y₀) 处连续。

偏导数

在微积分中，偏导数是指包含多个变量的函数相对于其中一个变量的导数，而其他变量保持不变。
它用于**向量**和**微分**微积分。
让我们考虑一个多变量函数 g(x,y,z,....)。g 关于 x 的偏导数可以表示为 $\mathrm{g_x,g_x^ⵏ,∂_x g,D_x g,D_1 g,or\frac{\partial g}{\partial x}.}$

现在，我们将看到函数 g(x,y) 的偏导数公式。

偏导数公式 -

$\mathrm{g_x =\frac{\partial g}{\partial x}=\displaystyle \lim \limits_{h \rightarrow 0}\frac{g(x+h,y)-g(x,y)}{h} }$ （g(x,y) 关于 x 的偏导数）

类似地， $\mathrm{g_y =\frac{\partial g}{\partial y}=\displaystyle \lim \limits_{h \rightarrow 0}\frac{g(x,y+h)-g(x,y)}{h} }$ （g(x,y) 关于 y 的偏导数）

与微分类似，偏导数中也使用了四种类型的规则。

乘积法则
商法则
链式法则
幂法则

多元积分

在多元微积分中，多元积分是指包含多个变量的函数的定积分。函数 g(x,y) 在区域 R 上的积分称为**二重积分**。

数学上，它可以表示为

$\mathrm{\int\int_{R} g(x,y)dx dy}$

类似地，函数 g(x,y,z) 在区域 R 上的积分称为**三重积分**。

数学上，它可以表示为

$\mathrm{\int\int_{R} g(x,y,z)dx\: dy\: dz}$

偏微分方程

偏微分方程是微分方程的独特分类。
它被定义为包含多变量函数的偏微分的方程。
换句话说，它建立了多变量函数的各种偏导数之间的关系。
它的缩写为 PDE。函数 g(x,y,z,...) 的 PDE 可以表示为 $\mathrm{\mathit{f}(x,y,....g,\frac{\partial g}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial y},...,\frac{\partial^2 g}{\partial x \: \partial x},\dotsm\dotsm)=0.}$

此外，函数 g(x,y,z,...) 的偏导数可以表示为

$\mathrm{g_x=\frac{\partial g}{\partial x}}$

$\mathrm{g_{xx}=\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}}$

$\mathrm{g_{xy}=\frac{\partial^2 g}{\partial x\: \partial x}=\frac{\partial }{\partial y}(\frac{\partial g}{\partial x})}$

数学中使用了各种类型的 PDE，例如

一阶 PDE
线性 PDE
拟线性 PDE
齐次 PDE

已解决的示例

示例 1

求以下函数关于 x、y 和 z 的偏导数。

$\mathrm{g=5x^2+2y^2-6z^3-7xyz}$

解决方案

已知，

$\mathrm{g(x,y,z)=5x^2+2y^2-6z^3-7xyz}$

$\mathrm{Now, \frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(5x^2+2y^2-6z^3-7xyz)}$

$\mathrm{\Rightarrow \frac{\partial g}{\partial x}=10x+0-0-7yz (y\: and\: z\: held\: constant)}$

$\mathrm{\Rightarrow \frac{\partial g}{\partial x}=10x-7yz}$

$\mathrm{\frac{\partial g}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(5x^2+2y^2-6z^3-7xyz)}$

$\mathrm{\Rightarrow \frac{\partial g}{\partial y}=0+4y-0-7xz (x\: and\: z\: held\: constant)}$

$\mathrm{\Rightarrow \frac{\partial g}{\partial y}=4y-7xz}$

$\mathrm{\frac{\partial g}{\partial z}=\frac{\partial }{\partial z}(5x^2+2y^2-6z^3-7xyz)}$

$\mathrm{\Rightarrow \frac{\partial g}{\partial z}=0+0-18z^2-7xy (x\: and\: y\: held\: constant)}$

$\mathrm{\Rightarrow \frac{\partial g}{\partial z}=-18z^2-7xy}$

示例 2

求 $\mathrm{∫ ∫(x^2 y+5x) dx\: dy.}$ 的二重积分值。

解决方案

$\mathrm{ Let\: I=\int[\int(x^2 y+5x) dx] dy}$

$\mathrm{\Rightarrow I=\int[\int(x^2 y+5x) dx] dy}$

$\mathrm{\Rightarrow I=\int[\frac{x^3 y}{3} +\frac{5x^2}{2}] dy}$

$\mathrm{\Rightarrow I=\frac{x^3 y^2}{6} +\frac{5x^3}{6}+c}$

$\mathrm{\Rightarrow I=\frac{x^3 y^2+5x^3}{6}+c}$ （其中 c 是积分常数）

示例 3

证明如果 k 是常数，g(y,m)=sin (km) cos(y) 是

$\mathrm{\frac{\partial^2 g}{\partial m^2}=k^2\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}}$

解决方案

的解。

假设 g(y,m)=sin (km) cos(y) 是 $\mathrm{\frac{\partial^2 g}{\partial m^2}=k^2\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}}$ 的解。因此，函数 g 必须满足上述方程。

$\mathrm{\frac{\partial g}{\partial m}=\frac{\partial }{\partial m}(sin (km) cos(y))=k cos(km) cos(y)}$

现在， $\mathrm{\frac{\partial^2 g}{\partial m^2}=\frac{\partial }{\partial m}(k cos(km) cos(y))=-k^2 sin(km) cosy\dotso\dotso\dotso(1)}$

$\mathrm{\frac{\partial g}{\partial m}=\frac{\partial }{\partial y}(sin (km) cos(y))=-sin(km) siny}$

现在， $\mathrm{\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}(-sin(km) siny)=-sin(km) cosy}$

将 k² 乘以上述表达式，我们将得到

$\mathrm{k^2\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}=-k^2 sin(km) cosy\dotso\dotso\dotso\dotso(2)}$

从等式 (1) 和等式 (2)，我们可以得出结论，g(y,m)=sin (km) cos(y) 是 $\mathrm{\frac{\partial^2 g}{\partial m^2}=k^2 \frac{\partial^2 g}{\partial y^2}}$ 的解。

结论

本教程简要介绍了多元微积分及其各个子主题。本教程概述了偏导数、积分和偏微分方程。此外，还提供了一些已解决的示例，以更好地理解这一概念。总之，本教程可能有助于理解多元微积分的基本概念。

常见问题

1.偏微分方程的阶数是什么意思？

微分方程中最高阶导数项的阶数称为偏微分方程的阶数。例如，考虑一个 PDE

$\mathrm{\frac{\partial g}{\partial y}+\frac{\partial g}{\partial z}=yz-2.}$ 最高阶导数项的阶数为 1；给定的 PDE 称为一阶 PDE。

2.多元积分的应用是什么？

二重积分通常用于确定有界区域的表面积，三重积分用于计算物体的体积。

3.偏微分方程的次数是什么？

微分方程中最高阶导数项的次数称为偏微分方程的次数。例如，考虑一个 PDE

$\mathrm{\frac{\partial g}{\partial y}+\frac{\partial g}{\partial z}=yz-2.}$ 最高阶导数项的次数为 1。

4.多元微积分有哪些应用？