谓词演算的推理规则

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为了从我们已知真值的语句中推导出新的语句，我们使用**推理规则**。

推理规则有什么用？

数学逻辑常用于逻辑证明。证明是有效的论证，用于确定数学语句的真值。

论证是一系列语句。最后一个语句是结论，所有其前面的语句称为前提（或假设）。符号“∴”（读作因此）放在结论之前。有效论证是指结论遵循前提真值的论证。

推理规则为从我们已经拥有的语句构建有效论证提供了模板或指导原则。

推理规则表

推理规则	名称	推理规则	名称
$$\begin{matrix} P \ \hline \therefore P \lor Q \end{matrix}$$	加法	$$\begin{matrix} P \lor Q \ \lnot P \ \hline \therefore Q \end{matrix}$$	析取三段论
$$\begin{matrix} P \ Q \ \hline \therefore P \land Q \end{matrix}$$	合取	$$\begin{matrix} P \rightarrow Q \ Q \rightarrow R \ \hline \therefore P \rightarrow R \end{matrix}$$	假言三段论
$$\begin{matrix} P \land Q\ \hline \therefore P \end{matrix}$$	简化	$$\begin{matrix} ( P \rightarrow Q ) \land (R \rightarrow S) \ P \lor R \ \hline \therefore Q \lor S \end{matrix}$$	构造性困境
$$\begin{matrix} P \rightarrow Q \ P \ \hline \therefore Q \end{matrix}$$	肯定前件	$$\begin{matrix} (P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S) \ \lnot Q \lor \lnot S \ \hline \therefore \lnot P \lor \lnot R \end{matrix}$$	破坏性困境
$$\begin{matrix} P \rightarrow Q \ \lnot Q \ \hline \therefore \lnot P \end{matrix}$$	否定后件

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加法

如果 P 是一个前提，我们可以使用加法规则推导出 $P \lor Q$。

$$\begin{matrix} P \ \hline \therefore P \lor Q \end{matrix}$$

示例

令 P 为命题，“他学习非常努力”为真

因此 - “要么他学习非常努力，要么他是一个非常差的学生。” 这里 Q 是命题“他是一个非常差的学生”。

合取

如果 P 和 Q 是两个前提，我们可以使用合取规则推导出 $P \land Q$。

$$\begin{matrix} P \ Q \ \hline \therefore P \land Q \end{matrix}$$

示例

令 P - “他学习非常努力”

令 Q - “他是班上最好的男孩”

因此 - “他学习非常努力，并且他是班上最好的男孩”

简化

如果 $P \land Q$ 是一个前提，我们可以使用简化规则推导出 P。

$$\begin{matrix} P \land Q\ \hline \therefore P \end{matrix}$$

示例

“他学习非常努力，并且他是班上最好的男孩”，$P \land Q$

因此 - “他学习非常努力”

肯定前件

如果 P 和 $P \rightarrow Q$ 是两个前提，我们可以使用肯定前件推导出 Q。

$$\begin{matrix} P \rightarrow Q \ P \ \hline \therefore Q \end{matrix}$$

示例

“如果你有密码，那么你可以登录 Facebook”，$P \rightarrow Q$

“你有密码”，P

因此 - “你可以登录 Facebook”

否定后件

如果 $P \rightarrow Q$ 和 $\lnot Q$ 是两个前提，我们可以使用否定后件推导出 $\lnot P$。

$$\begin{matrix} P \rightarrow Q \ \lnot Q \ \hline \therefore \lnot P \end{matrix}$$

示例

“如果你有密码，那么你可以登录 Facebook”，$P \rightarrow Q$

“你无法登录 Facebook”，$\lnot Q$

因此 - “你没有密码”

析取三段论

如果 $\lnot P$ 和 $P \lor Q$ 是两个前提，我们可以使用析取三段论推导出 Q。

$$\begin{matrix} \lnot P \ P \lor Q \ \hline \therefore Q \end{matrix}$$

示例

“冰淇淋不是香草味的”，$\lnot P$

“冰淇淋要么是香草味的，要么是巧克力味的”，$P \lor Q$

因此 - “冰淇淋是巧克力味的”

假言三段论

如果 $P \rightarrow Q$ 和 $Q \rightarrow R$ 是两个前提，我们可以使用假言三段论推导出 $P \rightarrow R$

$$\begin{matrix} P \rightarrow Q \ Q \rightarrow R \ \hline \therefore P \rightarrow R \end{matrix}$$

示例

“如果下雨，我就不去上学”，$P \rightarrow Q$

“如果我不去上学，我就不需要做作业”，$Q \rightarrow R$

因此 - “如果下雨，我就不需要做作业”

构造性困境

如果 $( P \rightarrow Q ) \land (R \rightarrow S)$ 和 $P \lor R$ 是两个前提，我们可以使用构造性困境推导出 $Q \lor S$。

$$\begin{matrix} ( P \rightarrow Q ) \land (R \rightarrow S) \ P \lor R \ \hline \therefore Q \lor S \end{matrix}$$

示例

“如果下雨，我会请假”，$( P \rightarrow Q )$

“如果外面很热，我会去冲个澡”，$(R \rightarrow S)$

“要么会下雨，要么外面很热”，$P \lor R$

因此 - “我会请假或者我会去冲个澡”

破坏性困境

如果 $(P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S)$ 和 $\lnot Q \lor \lnot S$ 是两个前提，我们可以使用破坏性困境推导出 $\lnot P \lor \lnot R$。

$$\begin{matrix} (P \rightarrow Q) \land (R \rightarrow S) \ \lnot Q \lor \lnot S \ \hline \therefore \lnot P \lor \lnot R \end{matrix}$$

示例

“如果下雨，我会请假”，$(P \rightarrow Q )$

“如果外面很热，我会去冲个澡”，$(R \rightarrow S)$

“要么我不会请假，要么我不会去冲个澡”，$\lnot Q \lor \lnot S$

因此 - “要么不下雨，要么外面不热”