微积分

---

微积分有两个主要分支：微分学和积分学。微分学是处理极限、连续性、导数和可微性的微积分分支。连续性定义为函数具有非断裂图形的性质，即函数的极限存在于域中的所有点，而可微性是函数在其域中所有点都具有导数的性质。而积分学是处理积分和函数曲线下面积的微积分分支。积分是微分的完全相反，在定义的极限内对函数进行积分会给出函数曲线下的面积。

在本教程中，我们将学习微积分、其分支和类型，以及它在现实生活中的应用。

微分学

在微分学中，学习极限和连续性以及微分和可微性等主题。

极限 - 函数的极限定义为当自变量接近域中特定点时函数逼近的值。

$$\mathrm{\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)}$$

如果从函数左侧和右侧逼近的值相等且等于该点处函数的值，则函数的极限存在。

$$\mathrm{\lim_{x \rightarrow a^{-}}f(x)\:=\:f(a)\:=\:\lim_{x \rightarrow a^{+}}f(x)}$$

左极限 = 函数值 = 右极限

连续性 - 如果函数的极限存在于函数的整个域中，则称该函数是连续的。

导数 - 导数定义为函数/因变量相对于自变量/自变量的变化率。

$$\mathrm{f'(x)=\frac{d(f(x))}{dx}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(x+h)-f(x)}{x+h-x}=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$$

注意：此公式称为导数的第一原理。

如果函数的左导数和右导数相等，则称该函数的导数存在。

可微性 - 如果函数的导数存在于函数的整个域中，则称该函数是可微的。

积分学

在积分学中，学习定积分和不定积分等主题。

定积分 - 如果在给定的有限区间内计算函数的积分，则该积分称为定积分。

$$\mathrm{\int_a^bf(x)=F(b)-F(a)\:\: (一个固定的数值)}$$

不定积分 - 从数学上来说，这些积分与导数完全相反。它们不在任何特定区间内，并且会产生一个函数，该函数的导数会产生原始函数。

$$\mathrm{\int f(x)=F(x)+C}$$

注意：添加常数 C 用于补偿原始函数中可能存在的任何常数，因为常数的导数为 0。

一元微积分

一元微积分是只有一个因变量和一个自变量的微积分的研究。

注意：只有一个自变量是它被称为一元微积分的原因。

上面讨论的所有公式都属于一元微积分。

多元微积分

在多元微积分中，存在多个自变量。

多元微积分中的公式与一元微积分略有不同。

• 极限 - 多元微积分中的极限由函数在变量达到多维空间中的坐标点而不是轴上的数字时逼近的值来定义。

  示例：对于 2 个自变量，

  $$\mathrm{\lim_{x,y \rightarrow x_o,y_o} f(x,y)}$$

• 导数（偏导数） - 导数变为偏导数，因为一个自变量的变化会比其他自变量以不同的方式改变因变量，因此每个自变量都有不同的偏导数。

  示例：对于因变量 z 和 2 个自变量 x 和 y

  z 关于 x 的偏导数 = $\mathrm{\frac{δz}{δx}}$

  z 关于 y 的偏导数 = $\mathrm{\frac{δz}{δy}}$

  z 关于 x 和 y 的偏导数 = $\mathrm{\frac{δ^2 z}{δxδy}}$

  z 关于 y 和 x 的偏导数 = $\mathrm{\frac{δ^2 z}{δyδx}}$

  注意：$\mathrm{\frac{δ^2 z}{δxδy}}$ 和 $\mathrm{\frac{δ^2 z}{δyδx}}$ 不是一回事，第一个是 z 关于 x 的偏导数，然后是结果关于 y 的偏导数，而第二个是 z 关于 y 的偏导数，然后是结果关于 x 的偏导数。

• 积分 - 与导数类似，多元微积分中的积分也不完整。但最常见的是：

  $\mathrm{\int \int f. dx.dy}$（先对 x 积分，然后对 y 积分），这与以下内容不同：

  $\mathrm{\int d[\int f.dy.]dx}$（先对 y 积分，然后对 x 积分）

  注意：极限也可以用于计算多元积分中的定积分，需要注意的是，第一个定积分的极限在第二个积分的变量中。

导数和积分的应用

导数的应用 - 导数主要用于几何、经济学、函数研究（代数）和优化问题。

• 查找一个参数相对于另一个参数的变化率。

• 查找函数的递增和递减性质。

• 查找近似值。

• 找到方程切线和法线的方程。

• 找到函数的最大值和最小值以及这些最大值/最小值出现的自变量的值。

• 通过利用输入来优化输出。

积分的应用 - 积分主要用于查找函数曲线下的面积或求解微分方程，这是各种现实世界场景中的主要工具，例如人口问题、放射性问题、增长和衰减问题等。

结论

在本教程中，我们学习了微积分、其分支微分学和积分学、微分学和积分学的不同术语和方面，以及微分学和积分学在现实生活中的应用。

常见问题

1. 什么是微积分？

微积分是处理研究函数与其自变量或因变量和自变量之间关系的数学分支。

2. 什么是导数？

导数定义为函数或因变量相对于自变量或自变量的变化率。

3. 函数的连续性是什么意思？

连续性定义为函数的性质，即函数的图形是连续的，在其域的任何点都没有断点或空洞。

4. 定积分和不定积分有什么区别？

不定积分定义为导数的数学反义词。它们产生一个函数，其导数将产生原始函数。

另一方面，定积分定义为给定区间内函数曲线下的面积。它产生一个实数值。

5. 求$\mathrm{f(x)=3x^2-sin x+\frac{4}{x}}$关于 x 的导数和积分。

导数：

我们知道 xⁿ 的导数是 nx^n-1，sin x 的导数是 cos x。

$$\mathrm{f'(x)=\frac{d}{dx}(f(x))=6x-cos x-\frac{4}{x^2} }$$

积分：

我们知道 $\mathrm{\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}, \int \frac{1}{x} dx=log x, and \int sin x⋅dx=-cos x }$

$$\mathrm{F(x)=\int f(x)⋅dx=x^3+cos x+4log x+C }$$