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法学命题演算的推理理论
为了从已知真值的语句中推导出新的语句，我们使用**推理规则**。
推理规则有什么用？
数学逻辑常用于逻辑证明。证明是有效的论证，用于确定数学语句的真值。
一个论证是一系列语句。最后一个语句是结论，所有之前的语句称为前提（或假设）。符号“$\therefore$”（意为因此）放在结论之前。有效的论证是指结论遵循前提真值的论证。
推理规则为根据已有的语句构建有效的论证提供了模板或指导。
重要定义
论证 - 论证是一个以结论结尾的陈述或前提。
有效性 - 当且仅当论证为真且结论永远不会为假时，论证才是有效的。
谬误 - 导致无效论证的错误推理。
论证结构
论证结构定义为使用前提和结论。
前提 - p1, p2, p3,...,pn
结论 - q
示例
$$\begin{matrix} P \\ Q \\ \hline \therefore P \land Q \end{matrix}$$
如果 $ p_1 \land p_2 \land p_3 \land ,\dots \land p_n \rightarrow q $ 是重言式，则该论证被认为是有效的，否则被称为无效的。
推理规则表
| 推理规则 | 名称 | 推理规则 | 名称 |
|---|---|---|---|
| $$\begin{matrix}P \\hline\therefore P \lor Q\end{matrix}$$ | 附加规则 | $$\begin{matrix}P \lor Q \\lnot P \\hline\therefore Q\end{matrix}$$ | 析取三段论 |
| $$\begin{matrix}P \\ Q \\hline\therefore P \land Q\end{matrix}$$ | 合取规则 | $$\begin{matrix}P \rightarrow Q \\ Q \rightarrow R \\hline\therefore P \rightarrow R \end{matrix}$$ | 假言三段论 |
| $$\begin{matrix}P \land Q\\hline\therefore P\end{matrix}$$ | 简化规则 | $$\begin{matrix}( P \rightarrow Q ) \land (R \rightarrow S) \\ P \lor R \\ \hline\therefore Q \lor S\end{matrix}$$ | 构造性二难推理 |
| $$\begin{matrix}P \rightarrow Q \\ P \\hline\therefore Q\end{matrix}$$ | 肯定前件 | $$\begin{matrix}(P \rightarrow Q) \land(R \rightarrow S) \\lnot Q \lor \lnot S \\hline\therefore \lnot P \lor \lnot R\end{matrix}$$ | 否定后件 |
| $$\begin{matrix}P \rightarrow Q \\lnot Q \\hline\therefore \lnot P\end{matrix}$$ | 否定后件 |
示例
让我们看看如何在命题演算中应用推理规则，从论证中推导出结论，或检查论证的有效性。考虑以下陈述：
如果下雨，我就不去上学。
如果我不去上学，我就不用做作业。
让我们首先确定前提，并使用前提变量来表示。
P - 下雨。
Q - 我去上学。
R - 我需要做作业。
这里的假设如下。
$ P \rightarrow \lnot Q $
$ \lnot Q \rightarrow \lnot R $
现在重言式是 $ (P \rightarrow \lnot Q) \land ( \lnot Q \rightarrow \lnot R) \rightarrow P \rightarrow \lnot R $
这是假言三段论推理规则，我们可以推断出：如果下雨，我就不用做作业。
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