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法律研究计算下列式子的值：( \frac{\tan ^{2} 60^{\circ}+4 \cos ^{2} 45^{\circ}+3 \sec ^{2} 30^{\circ}+5 \cos ^{2} 90^{\circ}}{\operatorname{cosec} 30^{\circ}+\sec 60^{\circ}-\cot ^{2} 30^{\circ}} )
已知
\( \frac{\tan ^{2} 60^{\circ}+4 \cos ^{2} 45^{\circ}+3 \sec ^{2} 30^{\circ}+5 \cos ^{2} 90^{\circ}}{\operatorname{cosec} 30^{\circ}+\sec 60^{\circ}-\cot ^{2} 30^{\circ}} \)
要求
我们需要计算 \( \frac{\tan ^{2} 60^{\circ}+4 \cos ^{2} 45^{\circ}+3 \sec ^{2} 30^{\circ}+5 \cos ^{2} 90^{\circ}}{\operatorname{cosec} 30^{\circ}+\sec 60^{\circ}-\cot ^{2} 30^{\circ}} \) 的值。
解：
我们知道：
tan 60° = √3
cos 45° = 1/√2
sec 30° = 2/√3
cos 90° = 0
cosec 30° = 2
sec 60° = 2
cot 30° = √3
因此，$\frac{\tan ^{2} 60^{\circ}+4 \cos ^{2} 45^{\circ}+3 \sec ^{2} 30^{\circ}+5 \cos ^{2} 90^{\circ}}{\operatorname{cosec} 30^{\circ}+\sec 60^{\circ}-\cot ^{2} 30^{\circ}}=\frac{(\sqrt{3})^{2} +4(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2} +3(\frac{2}{\sqrt{3}})^{2} +5( 0)^{2}}{( 2) +( 2) -(\sqrt{3})^{2}}$
$=\frac{3+4(\frac{1}{2}) +3(\frac{4}{3}) +0}{4-3}$
$=\frac{3+2+4}{1}$
$=9$
因此，$\frac{\tan ^{2} 60^{\circ}+4 \cos ^{2} 45^{\circ}+3 \sec ^{2} 30^{\circ}+5 \cos ^{2} 90^{\circ}}{\operatorname{cosec} 30^{\circ}+\sec 60^{\circ}-\cot ^{2} 30^{\circ}}=9$。
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