计算以下各式的值：\( \left(\operatorname{cosec}^{2} 45^{\circ} \sec ^{2} 30^{\circ}\right)\left(\sin ^{2} 30^{\circ}+4 \cot ^{2} 45^{\circ}-\sec ^{2} 60^{\circ}\right) \)

已知

\( \left(\operatorname{cosec}^{2} 45^{\circ} \sec ^{2} 30^{\circ}\right)\left(\sin ^{2} 30^{\circ}+4 \cot ^{2} 45^{\circ}-\sec ^{2} 60^{\circ}\right) \)

要求

我们需要计算 \( \left(\operatorname{cosec}^{2} 45^{\circ} \sec ^{2} 30^{\circ}\right)\left(\sin ^{2} 30^{\circ}+4 \cot ^{2} 45^{\circ}-\sec ^{2} 60^{\circ}\right) \) 的值。

解答：  

我们知道，

$cosec 45^{\circ}=\sqrt2$

$\sec 30^{\circ}=\frac{2}{\sqrt3}$

$\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$

$\cot 45^{\circ}=1$

$\sec 60^{\circ}=2$

$\left(\operatorname{cosec}^{2} 45^{\circ} \sec ^{2} 30^{\circ}\right)\left(\sin ^{2} 30^{\circ}+4 \cot ^{2} 45^{\circ}-\sec ^{2} 60^{\circ}\right)=\left[\left(\sqrt{2}\right)^{2}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2}\right]\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{2} +4( 1)^{2} -( 2)^{2}\right]$

$=\left( 2\times \frac{4}{3}\right)\left(\frac{1}{4} +4-4\right)$

$=\left(\frac{8}{3}\right)\left(\frac{1}{4}\right)$

$=\frac{2}{3}$

因此，$\left(\operatorname{cosec}^{2} 45^{\circ} \sec ^{2} 30^{\circ}\right)\left(\sin ^{2} 30^{\circ}+4 \cot ^{2} 45^{\circ}-\sec ^{2} 60^{\circ}\right)=\frac{2}{3}$. 

教程点

更新于： 2022年10月10日

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