如果三角形ABC的三条边的中点分别为D(-1/2, 5/2)、E(7, 3)和F(7/2, 7/2)，求三角形ABC的面积。

已知

$D (\frac{−1}{2}, \frac{5}{2}), E (7, 3)$ 和 $F (\frac{7}{2}, \frac{7}{2})$ 是三角形ABC三条边的中点。

要求

我们需要求出三角形ABC的面积。

解答

设三角形ABC的顶点分别为$A=\left(x_{1}, y_{1}\right), B=\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 和 $C=\left(x_{3}, y_{3}\right)$。

线段两个端点为$(x_{1}, y_{1})$ 和 $(x_{2}, y_{2})$ 的中点坐标为 $(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})$

$D\left(-\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right)$ 是BC的中点。

$\frac{x_{2}+x_{3}}{2}=-\frac{1}{2}$

$\Rightarrow x_{2}+x_{3}=-1$......(i)

$\frac{y_{2}+y_{3}}{2}=\frac{5}{2}$

$\Rightarrow y_{2}+y_{3}=5$.......(a)

类似地，

$\mathrm{E}(7,3)$ 是CA的中点。

$\frac{x_{3}+x_{1}}{2}=7$

$\Rightarrow x_{3}+x_{1}=14$.......(ii)

$\frac{y_{3}+y_{1}}{2}=3$

$\Rightarrow y_{3}+y_{1}=6$.......(b)

$\mathrm{F}\left(\frac{7}{2}, \frac{7}{2}\right)$ 是AB的中点。

$\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{7}{2}$

$\Rightarrow x_{1}+x_{2}=7$......(iii)

$\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=\frac{7}{2}$

$\Rightarrow y_{1}+y_{2}=7$.......(c)

将方程(i)、(ii)和(iii)相加，得到：

$2\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)=20$

$\Rightarrow x_{1}+x_{2}+x_{3}=10$.......(iv)

分别从(iv)中减去(i)、(ii)和(iii)，得到：

$x_{1}=11, x_{2}=-4, x_{3}=3$

将方程(a)、(b)和(c)相加，得到：

$2\left(y_{1}+y_{2}+y_{3}\right)=18$

$\Rightarrow y_{1}+y_{2}+y_{3}=9$......(d)

分别从(d)中减去方程(a)、(b)和(c)，得到：

$y_{1}=4, y_{2}=3, y_{3}=2$

因此，三角形ABC的顶点为$\mathrm{A}(11,4)$ $\mathrm{B}(-4,3) \text { 和 } \mathrm{C}(3,2)$

三角形ABC的面积$\Delta=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$

$\Delta=\frac{1}{2}[11(3-2)+(-4)(2-4)+3(4-3)]$

$=\frac{1}{2}[11 \times 1+(-4)(-2)+3(1)]$

$=\frac{1}{2}(11+8+3)$

$=\frac{22}{2}$

$=11$

三角形ABC的面积为11平方单位。

教程点

更新于： 2022年10月10日

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