数据结构
网络
关系型数据库管理系统
操作系统
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C语言编程
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理
化学
生物
数学
英语
经济学
心理学
社会学
服装设计
法律学如果三角形ABC的三条边的中点分别为D(-1/2, 5/2)、E(7, 3)和F(7/2, 7/2)，求三角形ABC的面积。
已知
$D (\frac{−1}{2}, \frac{5}{2}), E (7, 3)$ 和 $F (\frac{7}{2}, \frac{7}{2})$ 是三角形ABC三条边的中点。
要求
我们需要求出三角形ABC的面积。
解答
设三角形ABC的顶点分别为\( A=\left(x_{1}, y_{1}\right), B=\left(x_{2}, y_{2}\right) \) 和 \( C=\left(x_{3}, y_{3}\right) \)。
线段两个端点为\( (x_{1}, y_{1}) \) 和 \( (x_{2}, y_{2}) \) 的中点坐标为 \( (\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}) \)
\( D\left(-\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right) \) 是BC的中点。
\( \frac{x_{2}+x_{3}}{2}=-\frac{1}{2} \)
\( \Rightarrow x_{2}+x_{3}=-1 \)......(i)
\( \frac{y_{2}+y_{3}}{2}=\frac{5}{2} \)
\( \Rightarrow y_{2}+y_{3}=5 \).......(a)
类似地，
\( \mathrm{E}(7,3) \) 是CA的中点。
\( \frac{x_{3}+x_{1}}{2}=7 \)
\( \Rightarrow x_{3}+x_{1}=14 \).......(ii)
\( \frac{y_{3}+y_{1}}{2}=3 \)
\( \Rightarrow y_{3}+y_{1}=6 \).......(b)
\( \mathrm{F}\left(\frac{7}{2}, \frac{7}{2}\right) \) 是AB的中点。
\( \frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{7}{2} \)
\( \Rightarrow x_{1}+x_{2}=7 \)......(iii)
\( \frac{y_{1}+y_{2}}{2}=\frac{7}{2} \)
\( \Rightarrow y_{1}+y_{2}=7 \).......(c)
将方程(i)、(ii)和(iii)相加，得到：
\( 2\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)=20 \)
\( \Rightarrow x_{1}+x_{2}+x_{3}=10 \).......(iv)
分别从(iv)中减去(i)、(ii)和(iii)，得到：
\( x_{1}=11, x_{2}=-4, x_{3}=3 \)
将方程(a)、(b)和(c)相加，得到：
\( 2\left(y_{1}+y_{2}+y_{3}\right)=18 \)
\( \Rightarrow y_{1}+y_{2}+y_{3}=9 \)......(d)
分别从(d)中减去方程(a)、(b)和(c)，得到：
\( y_{1}=4, y_{2}=3, y_{3}=2 \)
因此，三角形ABC的顶点为\( \mathrm{A}(11,4) \) \( \mathrm{B}(-4,3) \text { 和 } \mathrm{C}(3,2) \)
三角形ABC的面积\( \Delta=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})] \)
\( \Delta=\frac{1}{2}[11(3-2)+(-4)(2-4)+3(4-3)] \)
\( =\frac{1}{2}[11 \times 1+(-4)(-2)+3(1)] \)
\( =\frac{1}{2}(11+8+3) \)
\( =\frac{22}{2} \)
\( =11 \)
三角形ABC的面积为11平方单位。
44 次查看
