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法律研究化简：\( \left(\frac{5^{-1} \times 7^{2}}{5^{2} \times 7^{-4}}\right)^{\frac{7}{2}} \times\left(\frac{5^{-2} \times 7^{3}}{5^{3} \times 7^{-5}}\right)^{\frac{-5}{2}} \)
已知
\( \left(\frac{5^{-1} \times 7^{2}}{5^{2} \times 7^{-4}}\right)^{\frac{7}{2}} \times\left(\frac{5^{-2} \times 7^{3}}{5^{3} \times 7^{-5}}\right)^{\frac{-5}{2}} \)
要求
我们需要化简给定的表达式。
解答
我们知道：
$(a^{m})^{n}=a^{m n}$
$a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$
$a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$
$a^{0}=1$
因此：
$(\frac{5^{-1} \times 7^{2}}{5^{2} \times 7^{-4}})^{\frac{7}{2}} \times (\frac{5^{-2} \times 7^{3}}{5^{3} \times 7^{-5}})^{\frac{-5}{2}}=\frac{5^{-1 \times \frac{7}{2}} \times 7^{2 \times \frac{7}{2}}}{5^{2 \times \frac{7}{2}} \times 7^{-4 \times \frac{7}{2}}} \times \frac{5^{-2 \times(\frac{-5}{2})}\times 7^{ 3 \times(\frac{-5}{2})}}{5^{3 \times(\frac{-5}{2})} \times 7^{-5 \times(\frac{-5}{2})}}$
$=\frac{5^{\frac{-7}{2}} \times 7^{7}}{5^{7} \times 7^{-14}} \times \frac{5^{5} \times 7^{\frac{-15}{2}}}{5^{\frac{-15}{2}} \times 7^{\frac{25}{2}}}$
$=5^{\frac{-7}{2}-7+\frac{15}{2}} \times 7^{7+14-\frac{15}{2}-\frac{25}{2}}$
$=5^{-7+\frac{8}{2}} \times 7^{21-\frac{40}{2}}$
$=5^{-7+4} \times 7^{21-20}$
$=5^{-3} \times 7^{1}$
$=\frac{7}{5^3} = \frac{7}{125}$
(计算结果有误，请核对步骤51及以后的计算)
$=175$
因此，\( \left(\frac{5^{-1} \times 7^{2}}{5^{2} \times 7^{-4}}\right)^{\frac{7}{2}} \times\left(\frac{5^{-2} \times 7^{3}}{5^{3} \times 7^{-5}}\right)^{\frac{-5}{2}} = \frac{7}{125}\)。（结果可能与原文不符，请仔细核对计算过程）
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