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法学凸极同步电机输出功率
同步电机的每相复功率输入为：
$$\mathrm{S_{1φ}=VI^{*}_{a}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$
取励磁电压 (Ef) 为参考相量，则：
$$\mathrm{V=V\angle-δ=V\:cosδ-jVsinδ\:\:\:\:\:\:...(2)}$$
$$\mathrm{I_{a}=I_{q}-jI_{d}}$$
$$\mathrm{\therefore\:I^{*}_{a}=I_{q}+jI_{d}\:\:\:\:\:\:...(3)}$$
因此，由公式(1)、(2)和(3)可得：
$$\mathrm{S_{1φ}=(V\:cosδ-jVsinδ)(I_{q}+jI_{d})\:\:\:\:\:\:...(4)}$$
对于凸极同步电机，正交轴电流和直轴电流分别为：
$$\mathrm{I_{q}=\frac{Vsinδ}{X_{q}}\:\:\:\:\:\:...(5)}$$
$$\mathrm{I_{d}=\frac{E_{f}-Vcosδ}{X_{d}}\:\:\:\:\:\:...(6)}$$
将Iq和Id的值代入公式(4)，得到：
$$\mathrm{S_{1φ}=(V\:cosδ-jVsinδ)\left(\frac{Vsinδ}{X_{q}}+j\frac{E_{f}-Vcosδ}{X_{d}}\right)}$$
$$\mathrm{\Longrightarrow\:S_{1φ}=\left(\frac{v^{2}}{X_{q}}sinδcosδ+\frac{VE_{f}}{X_{d}}sinδ-\frac{v^{2}}{X_{d}}sinδcosδ\right)+j\left(\frac{VE_{f}}{X_{d}}cosδ-\frac{V^{2}}{X_{d}}cos^{2}δ-\frac{V^{2}}{X_{d}}sin^{2}δ\right)}$$
$$\mathrm{\Longrightarrow\:S_{1φ}=\left[\frac{VE_{f}}{X_{d}}sinδ+\frac{V^{2}}{2}\left(\frac{1}{X_{q}}-\frac{1}{X_{d}}\right)sin2δ\right]+j\left[\frac{VE_{f}}{X_{d}}cosδ-\frac{v^{2}}{2X_{d}}(1+cos2δ)-\frac{v^{2}}{2X_{d}}(1-cos2δ)\right]}$$
$$\mathrm{\Longrightarrow\:S_{1φ}=\left[\frac{VE_{f}}{X_{d}}sinδ+\frac{V^{2}}{2}\left(\frac{1}{X_{q}}-\frac{1}{X_{d}}\right)sin2δ\right]+j\left[\frac{VE_{f}}{X_{d}}cosδ-\frac{v^{2}}{2X_{d}X_{q}}\left\{(X_{d}+X_{q})-(X_{d}-X_{q})cos2δ\right\}\right]\:\:\:\:\:\:...(7)}$$
同时：
$$\mathrm{S_{1φ}=P_{1φ}+jQ_{1φ}\:\:\:\:\:\:...(8)}$$
比较公式(7)和(8)，得到每相有功功率(瓦特)：
$$\mathrm{P_{1φ}=\frac{VE_{f}}{X_{d}}sinδ+\frac{V^{2}}{2}\left(\frac{1}{X_{q}}-\frac{1}{X_{d}}\right)sin2δ\:\:\:\:\:\:...(9)}$$
因此，三相总有功功率为：
$$\mathrm{P_{3φ}=3P_{1φ}=\frac{3VE_{f}}{X_{d}}sinδ+\frac{3V^{2}}{2}\left(\frac{1}{X_{q}}-\frac{1}{X_{d}}\right)sin2δ\:\:\:\:\:\:...(10)}$$
公式(10)右边第一项称为*励磁功率*，第二项称为*磁阻功率*。此外，每相无功功率(乏尔)为：
$$\mathrm{Q_{1φ}=\frac{VE_{f}}{X_{d}}cosδ-\frac{V^{2}}{2X_{d}X_{q}}[(X_{d}+X_{q})-(X_{d}-X_{q})cos2δ]\:\:\:\:\:\:...(11)}$$
因此，三相总无功功率(乏尔)为：
$$\mathrm{Q_{3φ}=3Q_{1φ}=\frac{3VE_{f}}{X_{d}}cosδ-\frac{3V^{2}}{2X_{d}X_{q}}[(X_{d}+X_{q})-(X_{d}-X_{q})cos2δ]\:\:\:\:\:\:...(12)}$$
公式(10)和(12)表示凸极同步电机的有功功率和无功功率。对于凸极同步电机，转矩角(δ)为负值。
数值例子
一台30 MVA，三相，星型连接，11 kV，8极，50 Hz凸极同步电机，其电抗Xd= 8Ω，Xq = 4Ω。转矩角为27.5°。在满载、单位功率因数和额定电压下，确定电机的有功功率。
解答
电枢电流：
$$\mathrm{I_{a}=\frac{S_{3φ}}{\sqrt{3}V}=\frac{30\:\times\:10^{6}}{\sqrt{3}\:\times\:11\times\:10^{3}}= 1574.64A}$$
$$\mathrm{I_{d}=I_{a}cosδ=1574.64\:\times\:cos27.5° = 1396.72 A}$$
因此，电机的每相励磁电压为：
$$\mathrm{E_{f}=Vcos2δ+I_{d}X_{d}}$$
$$\mathrm{\Longrightarrow\:E_{f}=\frac{11000}{\sqrt{3}}cos27.5° + (1396.72\:\times\:8) = 16807.2V}$$
三相有功功率为：
$$\mathrm{P_{3φ}=3P_{1φ}=\frac{3VE_{f}}{X_{d}}sinδ+\frac{3V^{2}}{2}\left(\frac{1}{X_{q}}-\frac{1}{X_{d}}\right)sin2δ}$$
$$\mathrm{\Longrightarrow\:P_{3φ}=\left[\frac{3\:\times\:11000\:\times\:16807.2}{\sqrt{3}\:\times\:8}sin 27.5°\right]+\left[\left(\frac{3}{2}\right)\times\left(\frac{11000}{\sqrt{3}}\right)^{2}\:\times\:\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{8}\right)sin(2\:\times\:27.5)\right]}$$
$$\mathrm{\Longrightarrow\:P_{3φ}=18483194.48\:+\:6195200.78 = 24678395.26W}$$
$$\mathrm{P_{3φ}=24678.39 kW = 24.678MVA}$$
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