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法学凸极同步机的功率-角度特性
由于电枢电阻Ra对同步电机输出功率与其转矩角δ之间关系的影响可以忽略不计，因此可以忽略它。忽略Ra时，滞后功率因数下凸极同步机的相量图如图1所示。凸极机的功率-角度特性可以由相量图导出。
交流发电机每相的复功率输出为：
$$\mathrm{𝑆_{1𝜑} =𝑉{𝐼^{*}_{𝑎}}… (1)}$$
取励磁电压（Ef）作为参考相量，则：
$$\mathrm{𝑉 = 𝑉\angle − \delta = 𝑉\:cos\:\delta − 𝑗𝑉\:sin\:\delta … (2)}$$
$$\mathrm{𝐼_{𝑎} = 𝐼_{𝑞} − 𝑗𝐼_{𝑑}}$$
$$\mathrm{∴\:{𝐼^{*}_{𝑎}}= 𝐼_{𝑞} + 𝑗𝐼_{𝑑} … (3)}$$
因此，由公式(1)、(2)和(3)，我们得到：
$$\mathrm{𝑆_{1𝜑} = (𝑉\:cos\:\delta − 𝑗𝑉\:sin\:\delta)(𝐼_{𝑞} + 𝑗𝐼_{𝑑}) … (4)}$$
从相量图中，我们得到：
$$\mathrm{𝐶𝐷 = 𝐴𝑀 = 𝐼_{𝑞}𝑋_{𝑞} = 𝑉\:sin\:\delta}$$
$$\mathrm{∴\:𝐼_{𝑞} =\frac{𝑉\:sin\:\delta}{𝑋_{𝑞}}… (5)}$$
$$\mathrm{𝐴𝐶 = 𝑀𝐷 = 𝑂𝐷 − 𝑂𝑀 = 𝐼_{𝑑}𝑋_{𝑑} = 𝐸_{𝑓} − 𝑉\:cos\:\delta}$$
$$\mathrm{∴\:𝐼_{𝑑} =\frac{𝐸_{𝑓} − 𝑉\:cos :\delta}{𝑋_{𝑑}}… (6)}$$
将Iq和Id的值代入公式(4)，我们有：
$$\mathrm{𝑆_{1𝜑} = (𝑉\:cos\:\delta − 𝑗𝑉\:sin\:\delta)\left(\frac{𝑉\:sin\:\delta}{𝑋_{𝑞}}+ 𝑗\frac{𝐸_{𝑓} − 𝑉\:cos\:\delta}{𝑋_{𝑑}}\right)}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:𝑆_{1𝜑} =\left(\frac{𝑉^{2}}{𝑋_{𝑞}}sin\:\delta\:cos\:\delta +\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑑}}sin\:\delta −\frac{𝑉^{2}}{𝑋_{𝑑}}sin\:\delta\:cos\:\delta\right)}$$
$$\mathrm{+ 𝑗\left(\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑑}}cos\:\delta −\frac{𝑉^{2}}{𝑋_{𝑑}}cos^{2}\:𝛿 −\frac{𝑉^{2}}{𝑋_{𝑞}}sin^{2}\:\delta\right)}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:𝑆_{1𝜑} =\left[\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑑}}sin\:\delta+\frac{𝑉^{2}}{2} \left(\frac{1}{{𝑋_{𝑞}}}-\frac{1}{{𝑋_{𝑑}}}\right)sin \:2\delta\right]}$$
$$\mathrm{+ 𝑗\left[\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑑}}cos\:\delta -\frac{𝑉^{2}}{2𝑋_{𝑑}}(1 + cos\:2\delta) −\frac{𝑉^{2}}{2𝑋_{𝑞}}(1 − cos\:2\delta)\right]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:𝑆_{1𝜑} =\left[\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑑}}sin\:\delta +\frac{𝑉^{2}}{2} \left(\frac{1}{{𝑋_{𝑞}}}-\frac{1}{{𝑋_{𝑑}}}\right)sin\: 2\delta\right]}$$
$$\mathrm{+ 𝑗\left[\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑑}}cos\:\delta-\frac{𝑉^{2}}{2𝑋_{𝑑}𝑋_{𝑞}}\{(𝑋_{𝑑} + 𝑋_{𝑞} ) − (𝑋_{𝑑} − 𝑋_{𝑞})\:cos\:2\delta\} \right]… (7)}$$
此外，
$$\mathrm{𝑆_{1𝜑} = 𝑃_{1𝜑} + 𝑗𝑄_{1𝜑} … (8)}$$
比较公式(7)和(8)，我们得到：
对于三相系统，
$$\mathrm{𝑃_{1𝜑} =\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑑}}sin\:\delta +\frac{𝑉^{2}}{2} \left(\frac{1}{{𝑋_{𝑞}}}-\frac{1}{{𝑋_{𝑑}}}\right)sin\: 2\delta … (9)}$$
每相无功功率，
$$\mathrm{𝑄_{1𝜑} =\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑑}}cos\:\delta-\frac{𝑉^{2}}{2𝑋_{𝑑}𝑋_{𝑞}}\left[(𝑋_{𝑑} + 𝑋_{𝑞} ) − (𝑋_{𝑑} − 𝑋_{𝑞})\:cos\:2\delta \right]… (10)}$$
对于三相系统，
$$\mathrm{𝑃_{3𝜑} = 3𝑃_{1𝜑} =\frac{3𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑑}}sin\:\delta +\frac{3𝑉^{2}}{2} \left(\frac{1}{{𝑋_{𝑞}}}-\frac{1}{{𝑋_{𝑑}}}\right)sin\: 2\delta… (11)}$$
$$\mathrm{𝑄_{3𝜑} = 3𝑄_{1𝜑} =\frac{3𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑑}}cos\:\delta −\frac{3𝑉^{2}}{2𝑋_{𝑑}𝑋_{𝑞}}\left[(𝑋_{𝑑} + 𝑋_{𝑞} ) − (𝑋_{𝑑} − 𝑋_{𝑞})\:cos\:2\delta \right]… (12)}$$
公式(11)和(12)适用于凸极同步发电机和电动机。_同步发电机的转矩角(δ)为正，同步电动机的转矩角(δ)为负。_
图2和图3分别显示了凸极同步机的(P-δ)和(Q-δ)曲线。此外，图4显示了凸极同步机的功率-角度曲线。从图4可以看出，峰值功率或稳态极限出现在δ小于90°的值处。最大负载角(δmax)取决于V、Ef和凸极的相对大小。
此外，对于圆柱转子同步机，三相有功功率由下式给出：
$$\mathrm{𝑃_{3𝜑} =\frac{3𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑑}}sin\:\delta… (13)}$$
同样，同步电机产生的电磁转矩由下式给出：
$$\mathrm{τ_{𝑒} =\frac{3𝑃_{1𝜑}}{𝜔_{𝑚}}= \frac{3}{2𝜋𝑛_{𝑠}}\left[\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑑}}sin\:\delta +\frac{𝑉^{2}}{2} \left(\frac{1}{{𝑋_{𝑞}}}-\frac{1}{{𝑋_{𝑑}}}\right)sin\: 2\delta \right]… (14)}$$
从公式(13)可以看出，产生的转矩有两个分量——_励磁转矩和磁阻转矩_。第一项表示由励磁引起的转矩，由下式给出：
$$\mathrm{𝜏_{𝑒𝑥𝑐} =\frac{3𝑉𝐸_{𝑓}}{2𝜋𝑛_{𝑠}𝑋_{𝑑}}sin\:\delta… (15)}$$
第二项称为磁阻转矩，由下式给出：
$$\mathrm{τ_{𝑟𝑒𝑙} =\frac{3𝑉^{2}}{4𝜋𝑛_{𝑠}}\left(\frac{1}{{𝑋_{𝑞}}}-\frac{1}{{𝑋_{𝑑}}}\right)sin\:2\delta… (16)}$$
该机的磁阻转矩与励磁无关，只有当同步机连接到从与端电压V并联运行的其他同步机接收无功功率的系统时才存在。实际上，磁阻转矩是由于磁极的凸极性，它倾向于使直轴与电枢MMF的轴线对齐。
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