同步电机振荡

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在稳定运行条件下，同步电机在每一时刻的驱动力矩都与其阻抗力矩平衡。阻抗力矩是由定子极轴和转子极轴之间的相位差（δ）产生的。机械旋转系统具有惯性和恢复力矩，当系统位移时，力矩会试图恢复其初始位置，因此系统具有固有的振荡频率。

与其他电机或无限大母线并联运行的同步电机就形成了这样一个振荡系统。这里的恢复力矩是由于同步力矩产生的，它取决于相位差并与位移相反。该系统的惯性是由于转子和原动机的转动惯量造成的。

振荡的固有周期

设

• 𝐽 = 旋转系统的转动惯量 (kg m²)

• β = 负载角偏离稳态位置 (机械弧度)

• τ_syn = 同步力矩系数 (Nm/机械弧度)

如果忽略阻尼力矩，则

$$\mathrm{𝐽\frac{{𝑑^{2}}β}{𝑑{𝑡^{2}}}= −τ_{𝑠𝑦𝑛}β … (1)}$$

公式(1)表示一个单一简谐运动。

而且，无阻尼振荡的固有频率由下式给出：

$$\mathrm{𝑓 =\frac{1}{2𝜋}\sqrt{\frac{𝜏_{𝑠𝑦𝑛}}{𝐽}}… (2)}$$

因此，振荡的固有周期为

$$\mathrm{𝑇 =\frac{1}{𝑓}= 2𝜋\sqrt{\frac{𝐽}{𝜏_{𝑠𝑦𝑛}}}… (3)}$$

如果I_a是满载电流，则

$$\mathrm{电抗电压降 = 𝐼_{𝑎}𝑋_{𝑠}}$$

$$\mathrm{单位电抗，\:𝑋_{𝑠\:(𝑝𝑢)} =\frac{𝐼_{𝑎}}{𝑉_{𝑝ℎ}}𝑋_{𝑠}}$$

$$\mathrm{∴\:𝑋_{𝑠} =\frac{𝑉_{𝑝ℎ}}{𝐼_{𝑎}}𝑋_{𝑠\:(𝑝𝑢)} … (4)}$$

因此，短路电流由下式给出：

$$\mathrm{𝐼_{𝑠𝑐} =\frac{𝑉_{𝑝ℎ}}{𝑋_{𝑠}}=\frac{𝐼_{𝑎}}{𝑋_{𝑠\:(𝑝𝑢)}}… (5)}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{𝐼_{𝑠𝑐}}{𝐼_{𝑎}}= \frac{1}{𝑋_{𝑠\:(𝑝𝑢)}}… (6)}$$

由于同步力矩系数由下式给出：

$$\mathrm{𝜏_{𝑠𝑦𝑛} =\frac{3{𝑉^{2}}_{𝑝ℎ}}{2𝜋𝑛_{𝑠}𝑋_{𝑠}}\cdot 𝑝}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:𝜏_{𝑠𝑦𝑛} =\frac{3{𝑉^{2}}_{𝑝ℎ}}{2𝜋𝑛_{𝑠}𝑋_{𝑠}}\cdot \left(\frac{𝑓}{𝑛_{𝑠}} \right)… (7)}$$

由公式 (5) 和 (7)，我们有：

$$\mathrm{𝜏_{𝑠𝑦𝑛} =\frac{3{𝑉}_{𝑝ℎ}𝐼_{𝑠𝑐}𝑓}{2𝜋{𝑛^{2}_{𝑠}}}… (8)}$$

因此，振荡周期为

$$\mathrm{𝑇 = 2𝜋 \sqrt{\frac{𝐽}{𝜏_{𝑠𝑦𝑛}}}= 2𝜋 \sqrt{\frac{𝐽\cdot{2𝜋{𝑛^{2}_{𝑠}}}}{3𝑉_{𝑝ℎ}𝐼_{𝑠𝑐}𝑓}}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:𝑇 = 9.093\:𝑛_{𝑠}\sqrt{\frac{𝐽}{𝑉_{𝑝ℎ}𝐼_{𝑠𝑐}𝑓}}… (9)}$$

现在，三相kVA为：

$$\mathrm{(𝑘𝑉𝐴)_{3𝜑} =\frac{3𝑉_{𝑝ℎ}𝐼_{𝑎}}{1000}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:𝑉_{𝑝ℎ} =\frac{(𝑘𝑉𝐴)_{3𝜑} × 1000}{3𝐼_{𝑎}}}$$

$$\mathrm{∴\:𝑇 = 9.093\:𝑛_{𝑠}\sqrt{\frac{𝐽}{\left( \frac{1000}{3}\right)\cdot{(𝑘𝑉𝐴)_{3𝜑}}\cdot \left( \frac{𝐼_{𝑠𝑐}}{𝐼_{𝑎}}\right) 𝑓 }}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:𝑇 = 0.498\:𝑛_{𝑠}\sqrt{\frac{𝐽}{ {(𝑘𝑉𝐴)_{3𝜑}}\cdot \left( \frac{𝐼_{𝑠𝑐}}{𝐼_{𝑎}}\right) 𝑓 }}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:𝑇 = 0.498\:𝑛_{𝑠}\sqrt{\frac{𝐽𝑋_{𝑠\:(𝑝𝑢)}}{(𝑘𝑉𝐴)_{3𝜑}\cdot 𝑓}}… (10)}$$

公式 (10) 给出了旋转系统的固有振荡周期。

数值例子

一台6000 kVA、三相、11000 V、50 Hz的交流发电机以1500 RPM的速度运行，并连接到恒压母线。如果旋转系统的转动惯量为1.6 × 10⁵ kg·m²，稳态短路电流是正常满载电流的四倍，求其固有振荡周期。

解答

单位电抗为：

$$\mathrm{𝑋_{𝑠\:(𝑝𝑢)} =\frac{𝐼_{𝑎}}{𝐼_{𝑠𝑐}}= \frac{1}{4}= 0.25}$$

因此，固有振荡时间为：

$$\mathrm{𝑇 = 0.498\:𝑛_{𝑠}\sqrt{\frac{𝐽𝑋_{𝑠 \:(𝑝𝑢)}}{(𝑘𝑉𝐴)_{3𝜑} \cdot 𝑓}}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:𝑇 = 0.498 × \left( \frac{1500}{60}\right)×\sqrt{\frac{1.6 × 10^{5} × 0.25}{6000 × 50}}}$$

$$\mathrm{∴\:𝑇 = 4.5404\:秒}$$