二次方程公式

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简介

二次方程是一个一元多项式方程，其次数为二。二次方程中未知变量的最高幂为二。一个以变量 x 为未知数的二次方程的一般形式为 f(x)=ax²+bx+c=0，其中 a≠0 且 a，b，c ϵ R。每个二次方程都有两个根，这些根可以是实数或虚数。二次方程的判别式决定了根的性质。可以使用二次方程公式计算根。

二次方程

二次方程是一个一元多项式方程，其次数为二。二次方程的一般形式为 f(x)=ax²+bx+c=0，其中 x 是未知变量，a≠0，且 a，b，c ϵ R。a 是二次方程的领先系数，c 是二次方程的常数项。满足二次方程的未知变量的值称为根。根可以是实数或虚数。有多种方法可以解二次方程并找到二次方程的根。

例如：3x²+5x+6=0、-x²+2x-1=0 等都是二次方程。

二次方程公式

可以使用二次方程公式找到二次方程的根。考虑二次方程 f(x)=ax²+bx+c=0，其中 x 是未知变量，a≠0，且 a，b，c ϵ R。现在，使用二次方程公式求解二次方程的根为：

$\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，a、b、c 是二次方程 ax²+bx+c=0 的系数的值。

判别式

• 二次方程 f(x)=ax^2+bx+c=0 的判别式 (D) 等于 b²-4ac。判别式的值决定了二次方程中根的性质。

• 如果 D 的值 > 0，则存在两个不同的实数根。

• 如果 D 的值 < 0，则存在两个不同的虚数根。

• 如果 D 的值 = 0，则存在一个实数根（两个根相等）。

• 如果二次方程 ax²+bx+c=0 的判别式值等于零，即 b²=4ac，则二次方程的根为 $\mathrm{x=\frac{-b}{2a}, \frac{-b}{2a}}$

• 如果二次方程 ax²+bx+c=0 的判别式值小于零，即 b²<4ac，则二次方程的根始终为共轭复数对。如果一个根是 p+iq，则另一个根是 p-iq。

二次方程公式的推导

考虑二次方程 f(x)=ax²+bx+c=0，其中 x 是未知变量，a≠0，且 a，b，c ϵ R。现在，为了推导出根的二次方程公式，将 c 移到方程的另一侧。

$$\mathrm{ax^2+bx=-c}$$

将方程的两边除以 $\mathrm{\frac{1}{a}}$

$$\mathrm{x^2+\frac{b}{a} x=-\frac{c}{a}}$$

现在，在方程的两边加上 $\mathrm{(\frac{b}{2a} )^2}$，以在左侧形成一个完全平方。

$$\mathrm{x^2+\frac{b}{a} x+ (\frac{b}{2a} )^2=-\frac{c}{a}+ (\frac{b}{2a} )^2}$$

$$\mathrm{(x+\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+ (\frac{b}{2a})^2}$$

$$\mathrm{(x+\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}}$$

$$\mathrm{(x+\frac{b}{2a})^2=-\frac{-4ac+b^2}{4a^2}}$$

现在，在方程的两边取平方根

$$\mathrm{x+\frac{b}{2a}=\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}}$$

$$\mathrm{x+\frac{b}{2a}=\frac{±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$$

$$\mathrm{x=-\frac{b}{2a}±\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$$

$$\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$$

二次方程 f(x)=ax²+bx+c=0 的根为 $\mathrm{x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

解题示例

1) 使用二次方程公式解二次方程 x²+3x+2=0？

已知二次方程 x²+3x+2=0，在方程中，a、b、c 的值分别为 1、3、2。

$\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，将 a、b、c 的相应值代入公式以获得方程的根。

$$\mathrm{x=\frac{-3±\sqrt{3^2-8}}{2}=\frac{-3±\sqrt{1}}{2}=-2,-1}$$

-2、-1 是二次方程 x²+3x+2=0 的根。

由于判别式值大于零，因此根是实数且不相等。

2) 使用二次方程公式解二次方程 -x²+4x-5=0？

已知二次方程 -x²+4x-5=0，在方程中，a、b、c 的值分别为 -1、4、-5。

$\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，将 a、b、c 的相应值代入公式以获得方程的根。

$$\mathrm{x=\frac{-4±\sqrt{4^2-20}}{-2}=\frac{-4±\sqrt{-4}}{-2}=\frac{-4±i2}{-2}}$$

2+i、2-i 是二次方程 -x²+4x-5=0 的根。

由于判别式值小于零，因此根是虚数且为共轭复数对。

3) 使用二次方程公式解二次方程 x²+2x+2=0？

已知二次方程 x²+2x+2=0，在方程中，a、b、c 的值分别为 1、2、2。

$\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，将 a、b、c 的相应值代入公式以获得方程的根。

$$\mathrm{x=\frac{-2±\sqrt{2^2-8}}{2}=\frac{-2±\sqrt{-4}}{2}=\frac{-2±i2}{2}}$$

-1+i、-1-i 是二次方程 x²+2x+4=0 的根。

由于判别式值小于零，因此根是虚数且为共轭复数对。

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4) 使用二次方程公式解二次方程 x²+5x+4=0？

已知二次方程 x²+5x+4=0，在方程中，a、b、c 的值分别为 1、5、4。

$\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，将 a、b、c 的相应值代入公式以获得方程的根。

$$\mathrm{x=\frac{-5±\sqrt{5^2-16}}{2}=\frac{-5±\sqrt{9}}{2}=-1,-4}$$

-1、-4 是二次方程 x²+5x+4=0 的根。

由于判别式值大于零，因此根是实数且不相等。

结论

在本教程中，我们学习了二次方程、二次方程公式、判别式、判别式如何确定根的性质、二次方程公式的推导以及一些解题示例。

常见问题

1.如何确定二次方程 ax²+bx+c=0 中根的性质？

二次方程的判别式 D =b²-4ac 决定了二次方程的根的性质，即它们是实数、虚数还是相等。

2.如果二次方程的判别式大于零会怎样？

则根是实数且不相等。

3.二次方程 ax²+bx+c=0 的判别式值是多少？

判别式值 D =b²-4ac。

4.二次方程 ax²+bx+c=0 的二次方程公式是什么？

$\mathrm{x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$，代入 a、b、c 的相应值。如果平方根下的部分，即 b²-4ac 为正数，即 < 0，则方程有两个不相等的实数根。而如果平方根下的相同部分，即 b²-4ac 为 0，则方程有两个相等的实数根，如果为负数，则方程没有实数根，但有两个不相等的复数根。

5.确定二次方程 2x²+3x+5=0 的根是实数还是虚数？

要确定根的性质，计算二次方程的判别式值。二次方程的 a、b、c 值分别为 2、3、5。

D =b²-4ac=3²-40=-31。

D < 0，因此根是虚数。

6.如果二次方程的一个根是 2-5i，另一个根的值是多少？

如果二次方程 ax²+bx+c=0 的判别式值小于零，即 b²<4ac，则二次方程的根始终为共轭复数对。如果一个根是 p+iq，则另一个根是 p-iq，因此另一个根等于 2+5i。

7.确定二次方程 x²-2x+1=0 的根是实数还是虚数？

要确定根的性质，计算二次方程的判别式值。二次方程的 a、b、c 值分别为 1、-2、1。

D =b²-4ac=(-2)²-4=0。

D = 0，因此根是相等的实数根。