倒数

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引言

“倒数”表示反比关系。在分数中，求倒数意味着将分子和分母互换位置。为了验证倒数是否正确，可以将倒数与原数相乘，结果总是等于1。或者，如果两个数相乘等于1，则它们互为倒数。分数的除法只能通过求倒数或乘法逆元来进行。

数

“数”这个词表示计数、测量或数量，用数字、文字或符号表示。数在不同的位置有不同的表示形式。数主要分为两大类：

$$实数和复数$$

一些数的类型如下：

• 自然数是实数，是计数数。

例如 - 1, 2, 3, 4, 5, .....

• 整数是自然数加上零。

例如 - 0, 1, 2, 3, 4, 5….

• 整数是整数加上负数。

例如 - -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .....

• 分数是用分子和分母表示的数。

例如 − $\mathrm{\frac{4}{5},\:\frac{65}{74},\:\frac{17}{23},\:......}$

• 有理数是以p/q形式表示的数，其中q不等于0。

例如 − $\mathrm{\frac{1}{100},\:\frac{5}{6},\:\frac{13}{2},\:.......}$

• 无理数是除有理数之外的所有实数。

例如 − $\mathrm{\sqrt{5},\sqrt{13},\sqrt{9949}}$

• 实数，上述所有数都属于实数。

例如 −$ \mathrm{2\:,\:-5\:,\:\frac{4}{17}\:,\sqrt{3}}$

• 复数是实数和虚数相加的结果。

例如 −$\mathrm{3\:+\:2i\:,\:5\:-\:4i\:......}$

• 小数是具有整数部分和小数部分的实数，两者用点号隔开。

例如 −$\mathrm{2.34\:,\:56.7\:.........}$

倒数或乘法逆元

一个数的倒数也称为乘法逆元。倒数用于分数的除法、垂直线、反比例等等。为了求解未知变量，必须将等式中所有其他值取倒数移到等式的另一侧。为了表示x的倒数，可以用其逆元𝑥−1表示，即1/x。如果两个数互为倒数，则这两个数相乘的结果为1。我们可以用数字系统将每种类型的数表示成其倒数形式。

数的类型	例子	倒数
自然数	$\mathrm{11,\:52,\:23,\:14}$	$\mathrm{\frac{1}{11},\:\frac{1}{52},\:\frac{1}{23},\:\frac{1}{14}}$
整数	$\mathrm{-1,\:-2,\:-4,\:15}$	$\mathrm{-\frac{1}{1},\:-\frac{1}{2},\:-\frac{1}{4},\:\frac{1}{15}}$
分数	$\mathrm{\frac{5}{7},\:\frac{13}{17},\:\frac{24}{27},\:\frac{56}{19}}$	$\mathrm{\frac{7}{5},\:\frac{17}{13},\:\frac{27}{24},\:\frac{19}{56}}$
有理数	$\mathrm{3.5\:,\:\frac{6}{11}\:,\:-0.25}$	$\mathrm{\frac{1}{3.5}\:or\:\frac{2}{7},\:\frac{11}{6},\:\frac{1}{-0.25}\:or\:-4}$
无理数	$\mathrm{\sqrt{10}\:\sqrt{8},\:-9.94}$	$\mathrm{\frac{1}{\sqrt{10}},\:\frac{1}{\sqrt{8}},\:-\:\frac{1}{9.94}}$
实数	$\mathrm{-15,\:1,\:\frac{2}{7},\:\sqrt{5}}$	$\mathrm{-\frac{1}{15},\:1,\:\frac{7}{2},\:\frac{1}{\sqrt{5}}}$
复数	$\mathrm{\frac{3}{2\:-\:3i}}$	$\mathrm{\frac{1}{2\:-\:3i}\:\times\:\frac{2\:+\:3i}{2\:+\:3i}=\frac{2\:+\:3i}{4\:-\:9i^{2}}}$
小数	$\mathrm{0.45,\:-2.34}$	$\mathrm{\frac{1}{0.45},\:-\:\frac{1}{2.34}\:or\:-0.427}$

分数

分数表示整体或完整集合的一部分或一部分。分数是将整体或集合分成许多相等的小部分。分数有不同的类型。它们是**相同分数、不同分数、真分数、假分数、等价分数**和**带分数**。在分数中，我们可以进行加、减、乘、除运算。相同分母的加减法很容易计算，只需取共同分母并简单地相加分子即可。如果不是，则通过取分母的最小公倍数 (LCM)，我们可以将它们转换为相同的分母。要将分数与相同或不同分母相乘，只需将分子乘以另一个分子，将分母乘以另一个分母即可。

分数的除法

分数本身就是一种除法形式。分数的除法是将分数进一步分解成更小的部分。有三种方法可以除分数。它们是面积模型、数轴和算法。算法方法如下。除分数需要四个步骤。步骤如下。

• 分数可以通过取给定数的乘法逆元来除。

• 分子乘以反转的分子。

• 分母乘以另一个分母。

• 取最大公约数 (HCF) 以找到最简形式。

考虑将$\mathrm{\frac{1}{2}}$块蛋糕分给4个孩子。$\mathrm{\frac{1}{2}}$除以4。

即，$\mathrm{\frac{1}{2}\:\div\:4\:=\:\frac{1}{2}\:\times\:\frac{1}{4}\:=\:\frac{1}{8}}$

在这里，$\mathrm{\frac{1}{2}}$份蛋糕可以分成$\mathrm{\frac{1}{8}}$份，平均分给4个孩子。

例题

计算分数$\mathrm{\frac{5}{6}\:\div\:\frac{7}{2}}$

解答

取乘法逆元，

$$ \mathrm{\frac{5}{6}\:\div\:\frac{7}{2}\:=\:\frac{5}{6}\:\times\:\frac{2}{7}} $$

将分子和分母相乘，

$\mathrm{=\:\frac{5\:\times\:2}{6\:\times\:7}\:=\:\frac{10}{42}}$

(10, 42) 的最大公约数 (HCF) = 2

$$ \mathrm{\frac{10}{42}\:\div\:\frac{2}{2}\:=\:\frac{5}{21}} $$

2. 计算带分数$\mathrm{7\:\frac{3}{5}\:\div\:6\frac{4}{2}}$

解答

$$ \mathrm{7\:\frac{3}{5}\:\div\:6\frac{4}{2}\:=\:\frac{38}{5}\:\div\:\frac{16}{2}} $$

取乘法逆元

$$ \mathrm{\frac{38}{5}\:\div\:\frac{16}{2}\:=\:\frac{38}{5}\:\times\:\frac{2}{16}} $$

将分子和分母相乘

$\mathrm{=\:\frac{38\:\times\:2}{5\:\times\:16}\:=\:\frac{76}{80}}$

(76, 80) 的最大公约数 (HCF) = 4

$$ \mathrm{\frac{76}{80}\:\div\:\frac{4}{4}\:=\:\frac{19}{20}} $$

3. 海蒂有$\mathrm{\frac{13}{21}}$份西瓜。她想分给家人$\mathrm{\frac{2}{3}}$份。海蒂可以分给家人多少块西瓜？

解答

取乘法逆元

$$ \mathrm{\frac{13}{21}\:\div\:\frac{2}{3}\:=\:\frac{13}{21}\:\times\:\frac{3}{2}} $$

将分子和分母相乘，

$$ \mathrm{\frac{13}{21}\:\times\:\frac{3}{2}\:=\:\frac{13\:\times\:3}{21\:\times\:2}\:=\:\frac{39}{42}} $$

(39, 42) 的最大公约数 (HCF) = 3

$$ \mathrm{\frac{39}{42}\:\div\:\frac{3}{3}\:=\:\frac{13}{14}} $$

海蒂可以分给家人$\mathrm{\frac{13}{14}}$块西瓜。

结论

一个数的倒数乘以该数等于1。不同类型的数，如自然数、整数、分数、有理数、无理数和复数的倒数，都是通过取乘法逆元得到的。要除以带分数，必须将带分数转换为假分数，然后取乘法逆元除以第二个分数。要除分数，第一步是取除数的乘法逆元，并将其与被除数相乘，通过取分子和分母的最大公约数 (HCF)，我们可以得到分数作为解。

常见问题

1. 我们能用不同分母的带分数进行除法吗？

是的，可以通过取乘法逆元将带分数转换为假分数来进行除法。然后，通过将分子和分母相乘并取最大公约数 (HCF)，我们可以得到带分数的最简形式。由于带分数中至少包含一个整数，因此它不能转换为真分数。

2. 是否可以除以两个假分数？

是的，要除以一个数，第一步是取乘法逆元，然后将分子和分母相乘。只有在加法和减法中，分母才需要相同。

3. $\mathrm{3\:\frac{4}{5}}$的倒数是多少？

要找到带分数的倒数，请将带分数转换为假分数。

即，$\mathrm{3\:\frac{4}{5}\:=\:\frac{19}{5}}$，则$\mathrm{\frac{19}{5}}$的倒数是$\mathrm{\frac{5}{19}}$

4. 我们能取0的倒数吗？

不，我们不能取0的倒数，即0/1，这会产生不确定的值。我们可以取除0以外的任何实数的倒数。

5. 如何将负指数表示为正分数？

要转换负指数，通过取乘法逆元，负指数转换为正分数。