标量三重积

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介绍

标量三重积用于求平行六面体的体积，平行六面体是平行四边形的 3 维形式。由于它是一个三重积，因此它处理从一个公共顶点开始的三个相邻边的三个向量。

$\mathrm{平行六面体体积\:=\:\overrightarrow{a}\:.\:(\overrightarrow{b}\:\times\:\overrightarrow{c})}$

我们知道平行六面体底面的面积是平行四边形的面积 $\mathrm{=\:l\:\times\:b}$

$\mathrm{底面积\:=\:\lvert\:\overrightarrow{b}\:\times\:\overrightarrow{c}\:\rvert}$

要找到平行六面体的高度，b × c 是画到 b 和 c 的一条垂直线，它不是平行六面体的实际高度。我们首先考虑长方体的高度，并将其转换为平行六面体。$\mathrm{\overrightarrow{a}\:在\:\overrightarrow{b}\:\times\:\overrightarrow{c}上的投影}$给出平行六面体的高度。

$\mathrm{\overrightarrow{a}\:.\:\frac{(\overrightarrow{b}\:\times\:\overrightarrow{c})}{\:\lvert\:(\overrightarrow{b}\:\times\:\overrightarrow{c})\:\rvert}}$

现在求平行六面体的体积

$\mathrm{底面积\:\times\:高度\:=\mathrm{\overrightarrow{a}\:.\:\frac{(\overrightarrow{b}\:\times\:\overrightarrow{c})}{\:\lvert\:(\overrightarrow{b}\:\times\:\overrightarrow{c})\:\rvert}\:\:\lvert\:(\overrightarrow{b}\:\times\:\overrightarrow{c})\:\rvert}}$

$\mathrm{平行六面体体积\:=\:\overrightarrow{a}\:.\:(\overrightarrow{b}\:\times\:\overrightarrow{c})}$

向量

许多向量是位移向量，表示物体移动的距离和方向。向量既包含大小也包含方向。大小表示多少，方向表示角度。向量越长，幅度越大。如果一个向量连接两个向量 A 和 B，我们可以将其写成 $\mathrm{\overrightarrow{AB}}$

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标量积或点积

两个向量的乘积称为标量积或点积。当两个向量 $\mathrm{\overrightarrow{A}\:和\:\overrightarrow{B}}$ 相乘时，我们使用 (•) 表示它，即 $\mathrm{\overrightarrow{A}\:.\:\overrightarrow{B}}$。这可以理解为 $\mathrm{\overrightarrow{A}\:和\:\overrightarrow{B}}$ 的点积。点积只能用于在相同维度上相乘两个向量。

例如

考虑两个向量 $\mathrm{A\:=\:(p,q,r)\:和\:B\:=\:(u,v,w)}$

解决方案

要找到 A 和 B 的点积，将 A 的 x 分量乘以 B 的 x 分量

$\mathrm{A\:.\:B\:=\:(pu)\:+\:(qv)\:+\:(rw)}$

点积的结果始终只是一个数字。

当角度 𝛳 位于 $\mathrm{\overrightarrow{a}\:和\:\overrightarrow{b}}$ 之间时，要找到点积，

$\mathrm{a\:.\:b\:=\:\lvert\:a\:\rvert\:\lvert\:b\:\rvert\:\cos\:\theta}$

$\mathrm{\cos\:\theta\:=\:\frac{a\:.\:b}{\lvert\:a\:\rvert\:\lvert\:b\:\rvert}}$

其中 $\mathrm{\lvert\:a\:\rvert\:\:和\:\lvert\:b\:\rvert\:}$ 是大小。

向量积或叉积

设向量 A 和向量 B 为两个向量，向量积或叉积的结果是垂直线。叉积用符号 (×) 表示，即 $\mathrm{A\:\times\:B}$。在叉积中，乘法的顺序很重要，这意味着 $\mathrm{A\:\times\:B\neq\:B\:\times\:A}$

例如

如果 $\mathrm{\overrightarrow{A}\:=\:x_{1}\widehat{i}\:+\:y_{1}\widehat{j}\:+\:z_{1}\widehat{k}\:和\:\overrightarrow{B}\:=\:x_{2}\widehat{i}\:+\:y_{2}\widehat{j}\:+\:z_{2}\widehat{k}}$ 计算 $\mathrm{\overrightarrow{A}\:\times\:\overrightarrow{B}}$

解决方案

给定 $\mathrm{\overrightarrow{A}\:=\:x_{1}\widehat{i}\:+\:y_{1}\widehat{j}\:+\:z_{1}\widehat{k}}$

$\mathrm{\overrightarrow{B}\:=\:x_{2}\widehat{i}\:+\:y_{2}\widehat{j}\:+\:z_{2}\widehat{k}}$

要找到叉积，使用行列式

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\begin{vmatrix} \widehat{i} & \widehat{j} & \widehat{k} \\ x_{1} & y_{1} & z_{1}\\ x_{2} & y_{2} & z_{2}\end{vmatrix}}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\widehat{i}\:(y_{1}z_{2}\:-\:y_{2}z_{1})\:-\:\widehat{j}\:(x_{1}z_{2}\:-\:x_{2}z_{1})\:\widehat{k}\:(x_{1}y_{2}\:-\:x_{2}y_{1})}$

标量三重积

考虑三个向量 $\mathrm{\overrightarrow{A}\:=\:x_{1}\widehat{i}\:+\:x_{2}\widehat{j}\:+\:x_{3}\widehat{k}\:,\:\overrightarrow{B}\:=\:y_{1}\widehat{i}\:+\:y_{2}\widehat{j}\:+\:y_{3}\widehat{k}\:,\:\overrightarrow{C}\:=z_{1}\widehat{i}\:+\:z_{2}\widehat{j}\:+\:z_{3}\widehat{k}}$ 求标量三重积

解决方案

要找到标量三重积，

$\mathrm{\widehat{a}\:.\:(\widehat{b}\:\times\:\widehat{c})}$

$\mathrm{\widehat{B}\:\times\:\widehat{C}\:=}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\begin{vmatrix} \widehat{i} & \widehat{j} & \widehat{k} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3}\\ z_{2} & z_{2} & z_{3}\end{vmatrix}}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\widehat{i}\:(y_{2}z_{3}\:-\:y_{3}z_{2})\:-\:\widehat{j}\:(y_{1}z_{3}\:-\:y_{3}z_{1})\:\widehat{k}\:(y_{1}z_{2}\:-\:y_{2}z_{1})}$

现在

$\mathrm{\widehat{a}\:.\:(\widehat{b}\:\times\:\widehat{c})}$

$\mathrm{(x_{1}\widehat{a}\:+\:x_{2}\widehat{j})\:.\:(\widehat{i}(y_{2}z_{3}\:-\:y_{3}z_{2})\:\:-\:\widehat{j}(y_{1}z_{3}\:-\:y_{3}z_{1})\:+\:\widehat{k}(y_{1}z_{2}\:-\:y_{2}z_{1})}$

$\mathrm{(x_{1}(y_{2}z_{3}\:-\:y_{3}z{2})\:+\:x_{2}(y_{1}z_{3}\:-\:y_{3}z_{1})\:+\:x_{2}(y_{1}z_{2}\:-\:y_{2}z_{1}))}$

标量三重积是 $\mathrm{\widehat{a}\:.\:(\widehat{b}\:\times\:\widehat{c})\:=}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\begin{vmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3}\\ z_{2} & z_{2} & z_{3} \end{vmatrix}}$

三个向量的共面性

向量 A、B、C 位于同一平面上，平行六面体的体积为零。

如果 $\mathrm{\widehat{a}\:.\:(\widehat{b}\:\times\:\widehat{c})\:=\:0}$ 则三个向量共面。

解题示例

1. 如果 $\mathrm{A\:=\:4\widehat{i}\:+\:3\widehat{j}}$ 和 $\mathrm{B\:=\:3\widehat{i}\:+\:11\widehat{j}}$，求 A 和 B 的点积

解决方案

$\mathrm{(\overrightarrow{A}\:.\:\overrightarrow{B})\:=\:(4\:\times\:3)\:+\:(3\:\times\:11)}$

$\mathrm{=\:45}$

2. 求 $\mathrm{u\:=\:\widehat{i}\:+\:2\widehat{j}\:和\:v\:=\:2\widehat{i}\:+\:\widehat{j}}$ 之间的夹角

解决方案

$\mathrm{\cos\:\theta\:=\:\frac{u\:.\:v}{\lvert\:u\:\rvert\:\lvert\:v\:\rvert\:}}$

$\mathrm{u\:.\:v\:=\:2(1)\:+\:(2)1\:+\:4}$

$\mathrm{\lvert\:u\:\rvert\:=\:\sqrt{(1^{2})\:+\:(2^{2})}\:=\:\sqrt{1\:+\:4}\:=\:\sqrt{5}}$

$\mathrm{\lvert\:v\:\rvert\:=\:\sqrt{(2^{2})\:+\:(1^{2})}\:=\:\sqrt{4\:+\:1}\:=\:\sqrt{5}}$

$\mathrm{\cos\:\theta\:=\:\frac{4}{\sqrt{5}\:.\:\sqrt{5}}}$

$\mathrm{\theta\:=\:\cos^{-1}(\frac{4}{5})}$

3. 求 $\mathrm{A\:=\:3\widehat{i}\:+\:2\widehat{j}\:-\:5\widehat{k}}$ 和 $\mathrm{2\widehat{i}\:-\:6\widehat{j}\:+\:9\widehat{k}}$ 的叉积

解决方案

$$\mathrm{\begin{vmatrix} \widehat{i} & \widehat{j} & \widehat{k} \\ 3 & 2 & -1\\ 2 & -6 & 9 \end{vmatrix}}$$

$\mathrm{\widehat{i}((2)(9)\:-\:(-5)(-6))\:-\:\widehat{j}(3)(9)\:-\:(2)(-5)\:+\:\widehat{k}((3)(-6)\:-\:(2)(2))}$

$\mathrm{=\:\widehat{i}(18\:-\:30)\:-\:\widehat{j}(27\:+\:10)\:+\:\widehat{k}(-18\:-\:4)}$

$\mathrm{=\:-(1\widehat{i}\:+\:37\widehat{j}\:+\:22\widehat{k})}$

4. 检查给定的向量是否共面，如果

$\mathrm{A\:=\:2\widehat{i}\:+\:\widehat{j}\:+\:3\widehat{k}\:,\:B\:=\:\widehat{i}\:+\:3\widehat{j}\:+\:\widehat{k}\:,\:C\:=\:2\widehat{i}\:+\:2\widehat{j}\:+\:\widehat{k}}$ 求 $\mathrm{\overrightarrow{a}\:.\:(\overrightarrow{b}\:\times\:\overrightarrow{c})}$

解决方案

$\mathrm{\overrightarrow{a}\:.\:(\overrightarrow{b}\:\times\:\overrightarrow{c})}$

$$\mathrm{\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 1\\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix}}$$

$\mathrm{=\:2(3\:-\:2)\:-1(1\:-\:2)\:+\:3(2\:-\:6)}$

$\mathrm{=\:2(1)\:-\:1(-1)\:+\:3(-4)}$

$\mathrm{=\mathrm{2\:+\:1\:-12\:=\:-9}}$

标量三重积不共面。

求标量三重积，如果 $\mathrm{A\:=\widehat{i}\:+\:2\widehat{j}\:+\:\widehat{k}\:;\:B\:=\:2\widehat{i}\:+\:\widehat{j}\:+\:3\widehat{k}\:;\:C\:=\:3\widehat{i}\:+\:3\widehat{j}\:\widehat{k}}$

解决方案

$\mathrm{\overrightarrow{a}\:.\:(\overrightarrow{b}\:\times\:\overrightarrow{c})}$

$$\mathrm{\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3\\ 3 & 3 & 1 \end{vmatrix}}$$

$\mathrm{=\:-8\:-\:14\:+\:3\:=\:19}$

结论

标量三重积是用于求平行六面体体积的三维测量。叉积以矩阵形式表示，通过取行列式。点积是直接相乘，它还可以测量向量之间的夹角。

常见问题

1. 循环排列会影响标量三重积吗？

不会，三个向量 a、b 和 c 的循环排列不会影响标量积，它保持不变。

$\mathrm{[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]\:=\:[\overrightarrow{b},\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}]\:=\:[\overrightarrow{c},\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]}$

2. 当点积和叉积互换时，标量三重积会发生什么？

当点积和叉积互换时，标量三重积的值保持不变

即，$\mathrm{\overrightarrow{a}\:.\:(\overrightarrow{b}\:\times\:\overrightarrow{c})\:=\:(\overrightarrow{a}\:\times\:\overrightarrow{b})\:.\:\overrightarrow{c}}$

3. 如果任何两个值改变其位置，标量三重积会发生什么变化？

当任何两个向量的顺序发生变化时，它将变为负数

即，$\mathrm{[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]\:=\:-\:[\overrightarrow{b},\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}]}$

4. 当标量三重积中重复两个向量时会发生什么？

当两个向量重复时，标量三重积将为零，即，

$\mathrm{[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]\:,\:[\overrightarrow{b},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]\:,\:[\overrightarrow{a},\overrightarrow{c},\overrightarrow{c}]}$

即，$\mathrm{[\overrightarrow{a},\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}]\:=\:\overrightarrow{a}\:.\:(\overrightarrow{a}\:\times\:\overrightarrow{c})\:=\:0}$

$\mathrm{[\overrightarrow{b},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}]\:=\:\overrightarrow{b}\:.\:(\overrightarrow{b}\:\times\:\overrightarrow{c})\:=\:0}$

5. 当标量三重积中的所有向量都相同时会发生什么？

当所有三个向量都相同时，标量三重积将为零，即 $\mathrm{[\overrightarrow{a},\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}]}$

即，$\mathrm{[\overrightarrow{a},\overrightarrow{a},\overrightarrow{a}]\:=\:\overrightarrow{a}\:.\:(\overrightarrow{a}\:\times\:\overrightarrow{a})\:=\:0}$